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現代物理学における重要な概念のひとつである対称性について、その数学的基礎である群論について学ぶ。ここでは、特に、量子力学を理解する上で強力な道具となりうる群の表現論を学ぶことで、対称性に立脚した物理の見方と量子系への応用力を身につける。線形代数などの数学と量子力学Iの内容を習得していることを前提とする。
Symmetry is one of the most essential concepts in modern physics. Here, we will study the mathematical basics of group theory. In particular, we will learn the representation theory of groups, which can be a powerful tool in understanding quantum mechanics and acquiring perspectives on physics and applications to quantum systems using group theory. We assume that the students have enough knowledge of linear algebra and the contents of Quantum Mechanics I.
ガロワ理論は，歴史的には代数方程式の可解性の研究から発展した代数にかかわる理論であるが，現代数学においてはその思想は幾何や解析など至る所に浸透し，現代数学を理解し記述する上では不可欠なものである．この授業では，体の拡大に関する基礎事項から出発して，有限次ガロワ理論について基本的なことを学ぶ．
Galois theory was originally developed to understand the algebraic solvability of algebraic equations. These days, the concept of the theory is widely accepted in many areas of mathematics, and it is one of the most important theories to understand modern mathematics. This course starts with basics on field extensions and covers the fundamentals on the Galois theory of finite field extensions.
ホモロジー群とは空間の幾何学的な構造を捉えるための代数的な道具であり，幾何学において最も基本的な不変量のひとつである．この講義では単体複体のホモロジー論を中心にその性質, ホモトピー不変性やマイヤー・ビートリス完全列などを用いた計算方法を学ぶ．
Homology group is an algebraic tool to understand geometric structures of topological spaces, which is one of the most basic invariants in geometry. In this lecture, homology groups for simplicial complexes will be mainly discussed. Their properties and techniques on computation such as homotopy invariance and Mayer-Vietoris exact sequence will be explained.
微分方程式の解を具体的に求めることが困難であるとき、未知関数自体を「モノ」とみなして線形代数学の枠組みに当てはめると解の存在をうまく証明できることがある。但し、次のような点が問題となり、これらは関数空間の無限次元性に起因する：
(1) 同一空間上の線型写像において全射性と単射性は同値ではなく、また連続作用素は有界とは限らない
(2) 関数列に様々な収束概念を考えられ、それぞれ異なる状況が出現する
(3) 有界閉集合はコンパクトであるとは限らない
函数解析学は、より一般的な設定の下で無限次元線型空間における線形代数学・微積分学を展開するものであり、微分方程式論、確率論、スペクトル理論、エルゴード理論など現代数学の様々な分野での基本的道具として応用されている。
It is sometimes difficult to derive the solution to a differential equation explicitly. However there are some cases where one can show the existence of that by regarding the unknown function as an element of a linear space and by using the idea in the linear algebra. Nevertheless, we have some problems which make our discussion difficult :
(1) the injectivity and the surjectivity of a linear map are not equivalent each other, and a continuous linear map is not necessarily bounded,
(2) there are many notions of convergence in the sequence of functions,
(3) bounded and closed set is not necessarily compact.
In this course of functional analysis, we develop the analysis on the infinite-dimensional linear spaces under the abstract setting. Functional analysis is applied to a variety of fields, such as the theory of differential equations, probability theory, spectral theory, ergodic theory, etc.
実解析学及び複素解析の基礎について学ぶ。具体的に以下のテーマに集中して演習を行う。
前半は数列や級数の収束・発散、関数の連続性などの解析学における基礎理論について演習を通して学ぶ。
後半は複素関数に関する基礎事項について演習を通して学ぶ。
This course will focus on the basic theory of real and complex analysis. In particular, we will perform exercises on the following topics.
In the first half of the course, we will introduce students to the basic theory of analysis such as convergence and divergence of sequences and series and continuity of functions.
In the latter half, the basic theory of complex functions will be introduced.
一変数の複素解析学の基礎について講義する. 正則関数の基本的な性質を理解させることやその扱い方を習熟させることを目指し, 複素数の持つ基本的な性質から出発して正則関数の概念やコーシーの積分定理を核とした理論について解説する.
Aiming to understand the basic properties of holomorphic functions, I will explain the foundations of complex analysis of one variable from basic properties of the complex number field to the theory of holomorphic functions and Cauchy's integral formula.
解析学概論A１の続編として複素関数論について学び、特にコーシーの積分定理・積分公式以降の内容について取り扱う。具体的には、コーシーの積分定理や積分公式の一般化、それらを用いた正則関数の性質の解析、テイラー展開、孤立特異点とローラン展開、留数定理による複素積分の計算、それらの実積分への応用、さらに偏角の原理とルーシェの定理、解析接続や等角写像に関する話題についても解説する。
As a sequel of Analysis A1, we shall further learn Complex Analysis, in particular, Cauchy's integral theorem / formula and there generalizations, applications to analysis on holomorphic functions,Taylor expansion, isolated singular points and Laurent expansion, Residue theorem and applications to calculation of complex and real integrals, Cauchy's argument principle and Rouché's theorem, analytic continuation and conformal maps.