前期 火曜日 ２講時. 単位数/Credit(s): 2. 担当教員/Instructor : 岩渕 司. 学期/Semester: 前期. 開講年度/Year: 2024. 科目ナンバリング/Course code/number: SMA-MAT321J. 使用言語/Language Used in Course: 日本語.
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幾何学講座
続・複素解析
Advanced Complex Analysis
解析学概論A１の続編として複素関数論について学び、特にコーシーの積分定理・積分公式以降の内容について取り扱う。具体的には、コーシーの積分定理や積分公式の一般化、それらを用いた正則関数の性質の解析、テイラー展開、孤立特異点とローラン展開、留数定理による複素積分の計算、それらの実積分への応用、さらに偏角の原理とルーシェの定理、解析接続や等角写像に関する話題についても解説する。
As a sequel of Analysis A1, we shall further learn Complex Analysis, in particular, Cauchy's integral theorem / formula and there generalizations, applications to analysis on holomorphic functions,Taylor expansion, isolated singular points and Laurent expansion, Residue theorem and applications to calculation of complex and real integrals, Cauchy's argument principle and Rouché's theorem, analytic continuation and conformal maps.
本講義で扱う複素解析に関する基礎理論を理解する。
Students will be able to understand the basic theory of the complex analysis studied in this course.
１．正則関数の性質：Moreraの定理とその応用
２．コーシーの積分定理と積分公式（1）
３．コーシーの積分定理と積分公式（2）
４. 孤立特異点とローラン展開
５. 留数定理とその応用（1）
６. 留数定理とその応用（2）
７. 有理型関数
８. ここまでのまとめ
９. 偏角の原理とルーシェの定理
10. 最大値原理
11. 等角写像
12. 調和関数論
13. リーマンの写像定理 (1)
14. リーマンの写像定理 (2)
15. 総括と期末考査
ただし、受講者の理解度に応じて進度を適宜調整する。
１．Properties of holomorphic functions: Morera's theorem and its applications
２．Cauchy's integral theorem and formula (1)
３．Cauchy's integral theorem and formula (2)
４．Isolated singular points and Laurent expansion
５．Residue theorem and its applications (1)
６. Residue theorem and its applications (2)
７. Meromorphic functions
８. Summary and review
９. Cauchy's argument principle, Rouche's theorem
10. Maximum principle
11. Conformal maps
12. Harmonic functions
13. Riemann mapping theorem (1)
14. Riemann mapping theorem (2)
15. Summary and review, final exam
The progress of the course will be suitably adjusted according to the understanding of the attendees.
成績は試験やレポートから総合的に評価する。
Grading will be done based on comprehensive evaluation of examinations and reports.
教科書は特に指定しない。参考書として以下を挙げておく：
1. 解析入門I, II, 杉浦光夫, 東京大学出版, ISBN: 978-4130620055, 978-4130620062
2. 複素解析, 高橋礼司, 東京大学出版, ISBN: 978-4-13-062106-9
3. 複素解析, L.V.アールフォルス (著), 笠原 乾吉 (翻訳), 現代数学社, ISBN: 978-4768701188
No text book is specified. As for references,
1. 解析入門I, II, 杉浦光夫, 東京大学出版, ISBN: 978-4130620055, 978-4130620062
2. 複素解析, 高橋礼司, 東京大学出版, ISBN: 978-4-13-062106-9
3. 複素解析, L.V.アールフォルス, 笠原 乾吉 (翻訳), 現代数学社, ISBN: 978-4768701188
各授業の復習と予習
Review and preparation of each lecture
解析学概論A2の理解には演習が欠かせないので同科目を履修するものは必ず演習科目も履修すること。試験範囲は演習科目で扱ったものも対象に含む。
It is STRONGLY recommended to take an exercise class (Analysis Tutorial A2) as well. Exam may include topics handled in the exercise class.