後期 火曜日 ２講時. 単位数/Credit(s): 2. 担当教員/Instructor : 理学部非常勤講師. 学期/Semester: 後期. 開講年度/Year: 2024. 科目ナンバリング/Course code/number: SMA-MAT302J. 使用言語/Language Used in Course: 日本語.
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大学院理学研究科
代数学概論C
Algebra C
ガロワ理論は，歴史的には代数方程式の可解性の研究から発展した代数にかかわる理論であるが，現代数学においてはその思想は幾何や解析など至る所に浸透し，現代数学を理解し記述する上では不可欠なものである．この授業では，体の拡大に関する基礎事項から出発して，有限次ガロワ理論について基本的なことを学ぶ．
Galois theory was originally developed to understand the algebraic solvability of algebraic equations. These days, the concept of the theory is widely accepted in many areas of mathematics, and it is one of the most important theories to understand modern mathematics. This course starts with basics on field extensions and covers the fundamentals on the Galois theory of finite field extensions.
体論の基礎事項を理解する．ガロワ理論の基礎事項を理解し，関連する基本的な計算ができるようになる．
To understand the basics of field theory. To understand the basics of Galois theory and to be able to compute basic examples.
講義計画は以下の通り．ただし，履修者の理解度等に応じて，適宜調整する．
第1回 復習I：環の準同型定理について復習した後，素イデアルや極大イデアルに関する基礎事項を復習する．
第2回 復習II：体についての基礎事項や，多項式環の基礎事項も復習する．
第3回 体の拡大：諸定義を述べた後，有限次拡大について論じる．
第4回 代数拡大：代数拡大について論じる．また，代数的元の最小多項式についても講じる．
第5回 共役I：共役の概念を定義し，その基礎事項を講じる．
第6回 共役II：分解体，最小分解体について講じる．
第7回 正規拡大：正規拡大の概念を定義し，その基礎事項を講じる．
第8回 分離性I：分離次数と分離拡大について，その定義の諸性質を講じる．
第9回 分離性II：分離閉包について講じる．また分離性判定法についても講じる．
第10回 復習とまとめ：これまで講じた内容について，まとめと復習を行う．
第11回 ガロワ理論I：ガロワ拡大を定義する．また，群の体への作用とその不変体について，基礎事項を講じる．
第12回 ガロワ理論II：アルティンの定理を紹介する．また，ガロワ理論の基本定理を講じる．
第13回 ガロワ理論の応用：ガロワ理論の基本的な応用を紹介する．
第14回 円分体のガロア理論：円分体とそのガロワ理論について講じる．
第15回 まとめと復習．
1. Review on basics of commutative algebras
2. Review on basics of fields and polynomial rings over fields
3. Extensions of fields: finite extensions
4. Algebraic extensions of fields
5. Conjugates I: Notion of conjugates
6. Conjugates II: Smallest splitting fields
7. Normal extensions.
8. Separability I: Separable degree and separable extensions
9. Separable closures
10. Reviews and exercises
11. Galois theory I: Galois extensions of fields; invariant fields
12. Galoir theory II: Artin’s theorem and the fundamental theorem of Galois theory
13. Applications of Galoir theory
14. Cyclotomic fields and the Galois theory
15. Reviews and exercises
レポートおよび期末試験の結果を総合して評価する。詳しくは初回授業時に説明する。
Course grades will be based on reports and the final exam. The details will be explained at the beginning of the course.
教科書は指定しない．参考書として，
藤崎 源二郎，体とガロア理論，岩波基礎数学選書
を挙げておく．
復習：前回までの講義内容を頭の中にいれておくこと．また，関連する演習問題を解くこと．
予習：特に無し．
Review: Recall the lectures given so far and solve problems.
講義資料（日本語）を配布予定