後期 水曜日 ２講時. 単位数/Credit(s): 2. 担当教員/Instructor : 中野 史彦. 学期/Semester: 後期. 開講年度/Year: 2024. 科目ナンバリング/Course code/number: SMA-MAT333J. 使用言語/Language Used in Course: 日本語.
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解析学講座
函数解析学入門
Introduction to Functional Analysis
微分方程式の解を具体的に求めることが困難であるとき、未知関数自体を「モノ」とみなして線形代数学の枠組みに当てはめると解の存在をうまく証明できることがある。但し、次のような点が問題となり、これらは関数空間の無限次元性に起因する：
(1) 同一空間上の線型写像において全射性と単射性は同値ではなく、また連続作用素は有界とは限らない
(2) 関数列に様々な収束概念を考えられ、それぞれ異なる状況が出現する
(3) 有界閉集合はコンパクトであるとは限らない
函数解析学は、より一般的な設定の下で無限次元線型空間における線形代数学・微積分学を展開するものであり、微分方程式論、確率論、スペクトル理論、エルゴード理論など現代数学の様々な分野での基本的道具として応用されている。
It is sometimes difficult to derive the solution to a differential equation explicitly. However there are some cases where one can show the existence of that by regarding the unknown function as an element of a linear space and by using the idea in the linear algebra. Nevertheless, we have some problems which make our discussion difficult :
(1) the injectivity and the surjectivity of a linear map are not equivalent each other, and a continuous linear map is not necessarily bounded,
(2) there are many notions of convergence in the sequence of functions,
(3) bounded and closed set is not necessarily compact.
In this course of functional analysis, we develop the analysis on the infinite-dimensional linear spaces under the abstract setting. Functional analysis is applied to a variety of fields, such as the theory of differential equations, probability theory, spectral theory, ergodic theory, etc.
函数解析学の基本事項を理解すること
To understand the basic facts on the functional analysis
主に次の項目について講義する。
1. ノルム空間とバナッハ空間
2. 線形作用素
3. 線型汎函数
4. Hahn-Banach の定理
5. ベールのカテゴリー定理とその帰結
6. 位相ベクトル空間
7. 弱位相
8. ヒルベルト空間
The topics will include :
1. Norm and Banach spaces
2. Linear operators
3. Linear functionals
4. Hahn-Banach Theorem
5. Baire category theorem and its consequences
6. Topological vector spaces
7. Weak topologies
8. Hilbert spaces
主にレポートにより評価する。状況に応じて期末試験を実施する可能性もある。
Grading will be done report,but we may take the examination.
特に指定しない。参考文献を授業中に紹介する。
復習をしっかり行うこと
One should review which has been discussed.
Google ClassroomのクラスコードやISTUのリンク等の授業実施に関する情報は理学部・理学研究科オンライン授業ポータルサイト（https://sites.google.com/tohoku.ac.jp/sci/?pli=1）を確認してください。
Information on class implementation such as Google Classroom class code and ISTU link will be posted on the online class portal site of the Faculty of Science and Graduate School of Science.