複素関数論

前期 水曜日 １講時 川北キャンパスＡ４０１. 単位数/Credit(s): 2. 担当教員(所属)/Instructor (Position): 山内 卓也 所属：理学研究科. 対象学部/Object: 理②. 開講期/Term: ３セメスター. 科目群/Categories: 全学教育科目学術基礎科目-基礎数学. 履修年度: 2024. 科目ナンバリング/Course Numbering: ZDM-MAT106J. 使用言語/Language Used in Course: 日本語.

主要授業科目/Essential Subjects

各学部の履修内規または学生便覧を参照。

授業題目/Class Subject

複素関数論
Complex analysis

授業の目的と概要/Object and Summary of Class

一変数の複素解析学の基礎について講義する. 正則関数の基本的な性質を理解させることやその扱い方を習熟させることを目指し, 複素数の持つ基本的な性質から出発して正則関数の概念やコーシーの積分定理を核とした理論について解説する.

Aiming to understand the basic properties of holomorphic functions, I will explain the foundations of complex analysis of one variable from basic properties of the complex number field to the theory of holomorphic functions and Cauchy's integral formula.

学修の到達目標/Goal of Study

正則関数の基本的な性質を理解すること及びコーシーの積分定理や留数計算を使いこなせるようになることを到達目標とする.

Understanding of the fundamental theorems of holomorphic functions and acquiring skills to perform Cauchy's integral formula and residue theory.

授業内容・方法と進度予定/Contents and Progress Schedule of the Class

講義の進度予定は以下の通りである.

第１回 複素数
第２回 代数学の基本定理
第３回 複素関数
第４回 正則関数とその具体例
第５回 正則関数とコーシー・リーマン方程式
第６回 正則関数と冪級数関数
第７回 複素関数の線積分
第８回 曲線のホモトピー
第９回 コーシーの積分定理
第10回 積分定理の応用 1
第11回 積分定理の応用 2
第12回 ローラン展開
第13回 留数定理
第14回 留数定理の応用
第15回 発展的内容

ただし, 学生の理解度や習熟度に応じて, 授業内容や予定を変更する場合がある.
また, 講義内で演習問題を適宜出題し学生が演習を通して理解を深められるように配慮する.

The content and the schedule are as follows:
Lecture 1: Complex numbers
Lecture 2: The fundamental theorem of algebra
Lecture 3: Functions on complex numbers
Lecture 4: Holomorphic functions and examples
Lecture 5: Holomorphic functions and Cauchy-Riemann equation
Lecture 6: Holomorphic functions and power series
Lecture 7: Integral of complex functions over curves
Lecture 8: Homotopy of curves
Lecture 9: Cauchy's integration theorem
Lecture 10: Applications of Cauchy's integration theorem 1
Lecture 11: Applications of Cauchy's integration theorem 2
Lecture 12: Laurent expansion
Lecture 13: Residue theorem
Lecture 14: Applications of the Residue theorem
Lecture 15: Advanced topics

According to the understanding of the lecture of the attending students, the schedule and content of the lecture mentioned above may be modified, and further exercise problems are given.

成績評価方法/Evaluation Method

レポートと小テスト(20%)および期末テスト(80%)により評価する. 詳しくは授業第1回目にて説明する.

Course grades will be based on the final exam and reports. The details will be explained at the beginning of the course.

教科書および参考書/Textbook and References

• 複素関数入門, ジェームズ・ウォード・ブラウン (著), リュウエル・V.チャーチル (著), 数学書房 (2008年) ISBN/ISSN: 9784903342009 資料種別:教科書
• 複素解析, L.V.アールフォルス 著,‎ 笠原乾吉 訳, 現代数学社 (1982年) ISBN/ISSN: 9784768701188 資料種別:参考書
• 函数論〈上〉, 辻正次 著, 朝倉書店 (2005年) ISBN/ISSN: 9784254116939 資料種別:参考書
• 複素解析入門, 原惟行・松永秀章 著, 共立出版 (2014年) ISBN/ISSN: 9784320110908 資料種別:参考書
• 理工系複素関数論, 柴雅和 著, サイエンス社 (2002年) ISBN/ISSN: 9784781910109 資料種別:参考書
• 複素関数入門, 神保道夫 著, 岩波書店 (2003年) ISBN/ISSN: 9784000048741 資料種別:参考書
• その他, 必要に応じて紹介する. ,

授業時間外学修/Preparation and Review

予習の必要はありませんが, 復習はしっかりと行って下さい.
講義後にノートや参考書をもとに, 講義内容を理解し自分の力で復元できるようなると良いでしょう.
具体例や演習問題を解くなどして自分で手を動かして, 計算法を身につけて概念に慣れることも重要です.
そのためにも講義中に出題された演習問題を解いておくと良いでしょう.

The preparations are not required, but please be sure to review each lecture carefully. For example, it is better to be able to reconstruct the contents of the lecture (without any notes/references) by the next lecture. I hope that students understand the meaning of the definition, the meaning of the proof, and the relationships between them (NOT rote memorization). Also, it is important to be familiar with the notation of holomorphic functions by solving exercise and problems given in the lectures.

授業へのパソコン持ち込み【必要/不要】/Students must bring their own computers to class[Yes / No]

対面授業時にパソコンは必要ない.

There is no need to bring PC.

その他/In Addition

上記の内容や成績評価方法はあくまで予定であり変更の可能性があります.
質問はいつでも歓迎します. 質問の際はメールで約束を取り付けておくことを勧めます.

The contents and evaluation methods above are just plans, which may be changed.
All questions are welcome, and, in this case, it is better to make an appointment by E-mail.