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解析力学は、ニュートン古典力学を共変形の観点から数学的に見直そうという試みから生まれた学問体系で、現在では量子力学など多くの学問の基礎体系ともなっている。本講義では、ニュートン力学とラグランジュ力学との関係を理解する。また、実空間から運動量空間への変換によるハミルトン形式の定式化を学び、ポアソン括弧を使用した記述法を学ぶことで、量子力学や場の理論を将来理解するための基礎を確立する。
Analytical mechanics, which is a mathematical reformulation of Newtonian classical mechanics from the viewpoint of "covariance", is now used as a basis for many fields of science such as quantum mechanics.
Through the present lecture, students will understand the relationship between Newtonian mechanics and Lagrangian mechanics. Moreover, by transforming from real space to momentum space and using Poisson bracket, we introduce the Hamiltonian mechanics, with which the students can prepare for the future studies on quantum mechanics and field theory..
Google Classroomのクラスコードは工学部Webページにて確認すること。
学部シラバス・時間割(https://www.eng.tohoku.ac.jp/edu/syllabus-ug.html)
古典力学ではニュートンの方程式を出発点とするが、一方、より一般的な立場から同じ問題を観ることに問題に内在する物理的な本質を明らかにすることが可能である。本講義では、まず作用積分が極値をとるように定式化されたオイラー・ラグランジュ方程式がニュートンの方程式と同等であることを述べ、次に時間と空間の一様性を要求することにより、エネルギー等の保存量が導出されることを説明する。その後、典型的な古典力学の問題を解析力学の立場から解くことにより、一見複雑な内容が簡潔に解ける例を紹介する。さらに変数変換を通して、一般化して問題を扱うことの利点を強調する。最後にさらに一般化したハミルトン形式とポアソン括弧を紹介し、量子力学との対応を述べる。
・本学科の学習・教育目標のB，C，Kに関する能力を含めて修得する。
The class code for Google Classroom can be found on the Web site of
the School of Engineering:
https://www.eng.tohoku.ac.jp/edu/syllabus-ug.html (JP Only)
As opposed to classical mechnics, which normally start with the Newton's equations, analytical mechanics treats the same problem from general points of view. We introduce the Eular-Lagrange eqution by applying the principle of least action to the action of an mechanical system, and show this is equivalent to the Newton's formula. By demanding the homogeniety in space and time, we derive several basic quatities, including energy, that are conserved. We also take several mechanical systems as examples and employ Lagrangian formalism to solve apparently complicated situations. Finally, students are exposed to Hamilton formalism through Legendre transformation. Canonical transformation and Poisson brackets will also be introduced, thereby making the connection to quantum mechanics.
解析力学は古典力学を数学的に表現したい、あるいは抽象化したいという流れから始まったが、驚くべきことに古典力学だけでなく、量子力学や電磁気学を含むあらゆる物理を統一的に記述できる理論的な枠組みを与えてくれる。本講義ではなぜ解析力学が重要なのかを理解したうえで、一般座標、一般運動量、位相空間などの抽象的な考え方を導入して、力学の抽象化、一般化、体系化を行う。またラグランジアン形式、ハミルトン形式などを学習し、今後学ぶことになる量子力学などで必須となる数学的記述の理解に向けた基礎を学ぶ。
Analytical mechanics began to express classical mechanics mathematically or to abstract it, but surprisingly, it provides a theoretical framework that can describe not only classical mechanics but also all physics, including quantum mechanics and electromagnetism, in a unified way. In this lecture, after understanding why analytical mechanics is powerful, we will abstract, generalize, and systematize dynamics by introducing abstract ideas such as general coordinates, general momentum, and phase space. Students will also learn Lagrangian and Hamiltonian formalisms and learn the basics for understanding mathematical descriptions that are essential in quantum mechanics and other areas that they will study in the near future.
目的： 変分の考えを用いてNewton力学をより一般的に定式化した解析力学の基礎を学ぶ。
概要： Newtonの運動方程式からLagrangeの運動方程式を導出し、Lagrangianの性質と保存則の関係、質点の運動を学習する。さらに、微小振動を学び、Hamiltonの正準方程式の概略を理解する。
達成目標等： Lagrangeの方法を正しく理解し、多くの例題を通してLagrangeの運動方程式を立てて解けるようになることを目標とする。
This course provides the derivation of Lagrangian equations of motion form Newtonian mechanics and the relationship between the character of Lagrangian and the conservation laws of energy, momentum, and angular momentum. Then, students will learn about the motion of forced, damped, and coupled oscillators. Finally, this course will help students understand an outline of Hamiltonian equations of motion.
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A. 目的と概要
解析力学の理解をさらに深め，さらに，正準形式などの発展的な解析力学を学．また，2体問題，剛体，連続体の力学など幅広い力学の問題を扱う．
なお，この講義は対面で行い，Classroomを使用して講義情報を発信する．
*** この授業は2025年度以降は開講しない可能性がある． ***
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The course provides an opportunity for students to deepen their understanding of analytical mechanics and to learn advanced topics such as canonical formalism and diverse topics such as mechanics of rigid body and continuum body.
*** This class may not be offered after 2025. ***
波動方程式、熱伝導方程式、シュレーディンガー方程式など、物理を記述する基本方程式を取り扱う際に必須となる数学に習熟することを目的とする。教養の微積分学および解析学の初歩的な知識を仮定し、フーリエ変換、またそれを一般化した直交関数系（エルミート関数、ルジャンドル関数、ベッセル関数）について学ぶ。また関連する具体的な物理現象の例（波動、熱伝導、量子力学など）についても解説する。
The purpose of this course is to understand essential mathematical techniques to solve fundamental physical equations such as wave equation, heat equation, and Schrodinger equation. Students will learn Fourier transformation and special functions such as Bessel functions and Legendre polynomials. Physical phenomena obtained by solving the equations will also be explained.
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１．目的
「解析力学」、「電磁気学」、「量子力学」等基礎物理学の学習に必要と思われる数学の演習を行い、これらでよく現れる問題を、自らの手で解くことにより、物理学の講義の理解を深めることを目的とする。
２．概要
Taylor展開、積分、ベクトル解析、Gaussの定理、Stokesの定理、複素解析、Fourier・Laplace変換、微分方程式、行列・行列式、固有値問題などである。一部の問題は学生が演習中に解法を発表し、また小テストやレポートなどで習熟度を確認する。
３．達成目標等
問題を解く力、人前で発表する要領、読みやすいレポートを書く力を養う。
４．形式
Google Classroomを利用する場合がある。
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1. Purpose
Students exercise mathematics required in fundamental physics "analytical mechanics", "electromagnetics", and "quantum mechanics". This course aim to develop a further understanding of physics by solving often appearing problems in one's own way.
2. Outline
Contents are Taylor expansion, integral, vector analysis, Gauss theorem, Stokes theorem, complex analysis, Fourier form, Laplace transform, differential equation, matrix/determinant, eigenvalue problem. Students present solutions for some problems in class. Short tests and/or reports are also given to check and deepen their understanding.
3. Goals and objectives
Students develop abilities of calculation, presentation, and writing report.
4. Format
Google Classroom is used if necessary.
我々が身近に接する固体、液体、気体などの物質は、多数の原子や電子から構成されており、それらは互いに複雑な相互作用を及ぼしながら運動している。これらの系の巨視的な性質は、構成要素が非常に多いことに起因する統計的法則を用いて初めて理解可能である。本講義では、多数個の粒子の集団からなる系の性質を理解することを目的に、統計物理学の基本的な概念とその簡単な系への応用について解説する。
Usual materials are composed of many atoms and molecules, which are interacting each other through complex interactions. These materials show a variety of phases, such as solid, liquid and gas phases. Their macroscopic properties can be understood in terms of statistical considerations based on the large number of degrees of freedom. In this lecture, in order to understand the physical properties of macroscopic systems composed of many constituent particles, we study the basic concepts of statistical physics and its applications to simple examples.
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Google Classroom を使用して、連絡事項を発信します．
１．目的
変分の考えを用いてNewton力学をより一般的に定式化した解析力学の基礎を学ぶ。
２．概要
Newtonの運動方程式からLagrangeの運動方程式を導出し、Lagrangianの性質と保存則の関係、質点の運動を学習する。さらに、微小振動を学び、Hamiltonの正準方程式の概略を理解する。
３．達成目標等
Lagrangeの方法を正しく理解し、多くの例題を通してLagrangeの運動方程式を立てて解けるようになることを目標とする。
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The purpose of this course is to introduce the Lagrangian formulation of mechanics and learn its application to a variety of problems, including those involving central forces and simple harmonic oscillations. Students also learn about Hamiltonian formulation of mechanics briefly.
特殊相対性理論は、運動の相対性と光速不変性から導かれる、きわめて基本的な時空と運動の性質を体系化したものであり、電磁気学はもとより、場の量子論に代表される現代物理学は、特殊相対論の枠組みの上に構成されている。さらに、高速の運動や高いエネルギーの現象を扱う素粒子・原子核物理や宇宙・天体物理などは、特殊相対論なしに記述することはできない。一方、GPSに相対論的補正が搭載されているように、今では身近な技術にも使われている。本授業では、特殊相対性理論の成り立ちとローレンツ変換の性質を学び、相対論的力学を習得してもらう。また、電磁気学にローレンツ共変性が内包されていることを理解し、電磁気学のより深い理解と電気力学の習得につなげるとともに、相対論的量子力学や一般相対論を学ぶための基礎を身につける。さらに、実際にさまざまな特殊相対論を用いた問題を解けるようにする。本授業は天文学コース以外では必修でないものの、すべての物理系学科の学生が履修しておくべきであろう。
Special relativity organizes the most basic properties of specetime and motions derived from the principle of relativity and the invariance of the speed of light. Electromagnetism and other modern physics such as quantum field theory are constructed on the framework of special relativity. In addition, particle/nuclear physics, astrophysics and cosmology which treat extremely fast and/or energetic phenomena cannot be described without special relativity. On the other hand, as the GPS system contains relativistic correction, special relativity is also applied to technologies for our daily life. In this lecture you will learn the origin of special relativity, the properties of Lorentz transformation, and relativistic mechanics. You will also understand that Lorentz covariance is incorporated in electromagnetism, which helps you reach deeper understanding of electromagnetism and electrodynamics as well as allows you to learn relativistic quantum mechanics and general relativity. You will also be able to solve various problems with special relativity. Although this class is not a required subject for all but the astronomy course, it should be taken by all students in all the physics departments.