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この授業は複素関数論（= 複素数を変数に持ち複素数を値にとる関数に対する微積分学）に関するものである。全学教育では複素関数論の基礎を概観し、特に複素微分や線積分、留数計算やその実積分への応用など主に計算に重点が置かれていただろう。この授業では理論面の強化を目指し、全学教育では証明が十分に述べられなかった定理等についてその証明を与えたり、定理等の理論的背景や関連する諸定理についても紹介する。加えて全学教育では扱えなかった内容に関しても扱ってゆく。またイプシロン・デルタ論法の理解を深め、例えば関数項級数の（一様）収束性や項別微分・積分など、解析学の基礎を理解する上で欠かせない技術の習得も目指す。
This course is concerned with the foundation of Complex Analysis, which is Calculus for complex functions. Students are supposed to have already taken the introductory course of Complex Analysis in the general education. In this course, we shall reinforce the theoretical aspect of the content which has already been treated in the general education by giving complete proofs to theorems and by exhibiting further related theorems. Moreover, we will also treat topics which have not been covered in the general education. Furthermore, students are expected to develop an understanding of the arguments based on the (ε, δ)-definition of limit and to master a skill for proving, e.g., (uniform) convergence and termwise differentiation or integration for function series.
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学部シラバス・時間割(https://www.eng.tohoku.ac.jp/edu/syllabus-ug.html)
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1. 目的
工学に応用されることの多い数学の分野の中から、下記の内容の基礎を学ぶ。
2. 概要
複素関数の微分と積分、複素級数と正則関数の基礎について、講義と演習を行う。
3. 達成目標等
以下のような能力を習得することを目標とする。
・本学科の学習・教育目標のA，B，C，Kに関する能力を含めて修得する。
・公式の適用条件、定理の内容を理解し、説明できる。
・公式および定理を、具体的な計算や基礎的な問題へ応用できる。
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the School of Engineering:
https://www.eng.tohoku.ac.jp/edu/syllabus-ug.html (JP Only)
This course provides lectures and exercises on the fundamentals of advanced engineering mathematics, shown below.
・Differentiation and integration of complex functions
・Complex series
・Holomorphic functions
Goal of study
This course is designed to help students understand the fundamental formulas and theorems and be able to apply them to specific calculations and basic problems.
一変数の複素解析学の基礎について講義する. 正則関数の基本的な性質を理解させることやその扱い方を習熟させることを目指し, 複素数の持つ基本的な性質から出発して正則関数の概念やコーシーの積分定理を核とした理論について解説する.
Aiming to understand the basic properties of holomorphic functions, I will explain the foundations of complex analysis of one variable from basic properties of the complex number field to the theory of holomorphic functions and Cauchy's integral formula.
一変数の複素解析学の基礎について講義する. 正則関数の基本的な性質を理解させることやその扱い方を習熟させることを目指し, 複素数の持つ基本的な性質から出発して正則関数の概念やコーシーの積分定理を核とした理論について解説する.
Aiming to understand the basic properties of holomorphic functions, I will explain the foundations of complex analysis of one variable from basic properties of the complex number field to the theory of holomorphic functions and Cauchy's integral formula.
解析学概論A１の続編として複素関数論について学び、特にコーシーの積分定理・積分公式以降の内容について取り扱う。具体的には、コーシーの積分定理や積分公式の一般化、それらを用いた正則関数の性質の解析、テイラー展開、孤立特異点とローラン展開、留数定理による複素積分の計算、それらの実積分への応用、さらに偏角の原理とルーシェの定理、解析接続や等角写像に関する話題についても解説する。
As a sequel of Analysis A1, we shall further learn Complex Analysis, in particular, Cauchy's integral theorem / formula and there generalizations, applications to analysis on holomorphic functions,Taylor expansion, isolated singular points and Laurent expansion, Residue theorem and applications to calculation of complex and real integrals, Cauchy's argument principle and Rouché's theorem, analytic continuation and conformal maps.
解析学概論A１の続編として複素関数論について学び, 特にコーシーの積分定理・積分公式以降の内容について取り扱う. 具体的には, コーシーの積分定理や積分公式の一般化, それらを用いた正則関数の性質の解析, テイラー展開, 孤立特異点とローラン展開, 留数定理による複素積分の計算, それらの実積分への応用, さらに偏角の原理とルーシェの定理, 解析接続や等角写像に関する話題について演習を通して学ぶ.
As a sequel of Analysis A1, we shall further learn Complex Analysis, through exercises. In particular, we are going to focus on the following topics: Cauchy's integral theorem/formula and their generalizations, their applications to the analysis of holomorphic functions, Taylor expansion, isolated singular points, and Laurent expansion, the residue theorem and its applications to computing complex and real integrals, Cauchy's argument principle and Rouché's theorem, analytic continuation and conformal maps.
実変数関数に対して，変数を複素数に自然に拡張して得られるのが正則関数であり，ラプラス変換やフーリエ変換を扱う上で重要となるほか，電磁気学や流体力学などにも多くの応用を持つ．正則関数の微分積分学の基礎を学び， オイラーの公式や留数定理を使いこなせるようにすることが目的である．同時に，複素積分を通してベクトル解析の初歩にも触れる．
The theory of holomorphic functions, a natural generalization of differentiable functions of a real variable to a complex variable, is an important ingredient in the theory of Laplace and Fourier transforms, and is applied to various areas in sciences such as electromagnetism and fluid mechanics. The purpose of this course is to present the calculus of holomorphic functions and to get acquainted with methods of using the residue formula. The course will also serve as an introduction to vector calculus via the notion of contour integration of complex functions.
実解析学及び複素解析の基礎について学ぶ。具体的に以下のテーマに集中して演習を行う。
前半は数列や級数の収束・発散、関数の連続性などの解析学における基礎理論について演習を通して学ぶ。
後半は複素関数に関する基礎事項について演習を通して学ぶ。
This course will focus on the basic theory of real and complex analysis. In particular, we will perform exercises on the following topics.
In the first half of the course, we will introduce students to the basic theory of analysis such as convergence and divergence of sequences and series and continuity of functions.
In the latter half, the basic theory of complex functions will be introduced.
微分積分学は解析学の基本であり、理工学系の学問における基礎である。微分積分学の初歩である1変数関数の微分法及び積分法について、基本的概念を理解するとともに計算力を養う。
Calculus plays an important role in the understanding of science, engineering, economics, among other disciplines. This course covers differentiation and integration of functions of one variable, with applications.