前期 金曜日 ３講時 / 前期 金曜日 ４講時. 単位数/Credit(s): 2. 担当教員/Instructor : ＣＡＶＡＬＬＩＮＡ ＬＯＲＥＮＺ. 学期/Semester: 前期. 開講年度/Year: 2024. 科目ナンバリング/Course code/number: SMA-MAT371J. 使用言語/Language Used in Course: 日本語.
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解析学講座
続・複素関数論 演習
Exercises on Advanced Complex Analysis
解析学概論A１の続編として複素関数論について学び, 特にコーシーの積分定理・積分公式以降の内容について取り扱う. 具体的には, コーシーの積分定理や積分公式の一般化, それらを用いた正則関数の性質の解析, テイラー展開, 孤立特異点とローラン展開, 留数定理による複素積分の計算, それらの実積分への応用, さらに偏角の原理とルーシェの定理, 解析接続や等角写像に関する話題について演習を通して学ぶ.
As a sequel of Analysis A1, we shall further learn Complex Analysis, through exercises. In particular, we are going to focus on the following topics: Cauchy's integral theorem/formula and their generalizations, their applications to the analysis of holomorphic functions, Taylor expansion, isolated singular points, and Laurent expansion, the residue theorem and its applications to computing complex and real integrals, Cauchy's argument principle and Rouché's theorem, analytic continuation and conformal maps.
コーシーの積分定理や積分公式の一般化、それらを用いた正則関数の性質の解析、テイラー展開、孤立特異点とローラン展開、留数定理による複素積分の計算、それらの実積分への応用、さらに偏角の原理とルーシェの定理、解析接続や等角写像について理解し、実際に諸定理の証明を理解すること、また関連する計算（特に複素積分や実積分、ローラン展開等）技術を習得することを目標とする。
To understand Cauchy's integral theorem/formula and their generalizations, applications to analysis of holomorphic functions, Taylor expansion, isolated singular points and Laurent expansion, Residue theorem and applications to calculation of complex and real integrals, Cauchy's argument principle and Rouché's theorem, analytic continuation and conformal maps.
１．ガイダンス、解析学概論A１の復習・補足
２．コーシーの積分定理と積分公式（再訪）
３．コーシーの積分公式と正則関数の性質
４．テイラーの定理
５．孤立特異点とローラン展開
６．極と零点、最大値原理
７．ここまでのまとめ
８．コーシーの積分定理・積分公式の一般化
９．コーシーの積分定理・積分公式の一般化（続き）
１０．留数定理と偏角の原理、ルーシェの定理
１１．実積分への応用
１２．調和関数、鏡像の原理
１３．解析接続
１４．一次変換、等角写像
１５．総括、総合演習
１． Guidance and review on Analysis A1
２． Cauchy's integral theorem and formula (revisited)
３． Cauchy's integral formula and holomorphic functions
４． Taylor's theorem
５． Isolated singular points and Laurent expansion
６． Pole and zero, maximum principle
７． Summary and integrated study
８． Generalization of Cauchy's integral theorem and formula
９． Generalization of Cauchy's integral theorem and formula（continued）
１０． Residue theorem, Cauchy's argument principle, Rouche's theorem
１１． Application to real integrals
１２． Harmonic functions and Schwarz reflection principle
１３． Analytic continuation
１４． Linear transformation, conformal map
１５． Summary and integrated study
演習の取り組み、レポート等から総合的に評価する
Comprehensive evaluations of exercises and reports
教科書は特に指定しないが参考書は以下に挙げる。
[1] 複素解析 L.V.アールフォルス著、笠原乾吉訳 現代数学社
[2] 複素解析 高橋礼司著 東京大学出版会
No text is specified. References are as follows:
[1] Ahlfors, Lars V. Complex analysis. An introduction to the theory of analytic functions of one complex variable. Third edition. International Series in Pure and Applied Mathematics. McGraw-Hill Book Co., New York, 1978. xi+331 pp. ISBN: 0-07-000657-1
前回の授業の復習, レポート
Review on the last class, report