後期 火曜日 ２講時. 単位数/Credit(s): 2. 担当教員/Instructor : 藤江 健太郎. 学期/Semester: 後期. 開講年度/Year: 2024. 科目ナンバリング/Course code/number: SMA-MAT221J. 使用言語/Language Used in Course: 日本語.
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解析学講座
複素関数論の基礎
Foundation of Complex Analysis
この授業は複素関数論（= 複素数を変数に持ち複素数を値にとる関数に対する微積分学）に関するものである。全学教育では複素関数論の基礎を概観し、特に複素微分や線積分、留数計算やその実積分への応用など主に計算に重点が置かれていただろう。この授業では理論面の強化を目指し、全学教育では証明が十分に述べられなかった定理等についてその証明を与えたり、定理等の理論的背景や関連する諸定理についても紹介する。加えて全学教育では扱えなかった内容に関しても扱ってゆく。またイプシロン・デルタ論法の理解を深め、例えば関数項級数の（一様）収束性や項別微分・積分など、解析学の基礎を理解する上で欠かせない技術の習得も目指す。
This course is concerned with the foundation of Complex Analysis, which is Calculus for complex functions. Students are supposed to have already taken the introductory course of Complex Analysis in the general education. In this course, we shall reinforce the theoretical aspect of the content which has already been treated in the general education by giving complete proofs to theorems and by exhibiting further related theorems. Moreover, we will also treat topics which have not been covered in the general education. Furthermore, students are expected to develop an understanding of the arguments based on the (ε, δ)-definition of limit and to master a skill for proving, e.g., (uniform) convergence and termwise differentiation or integration for function series.
複素関数の概念またそれに対する微分や積分にまつわる諸概念の定義を正しく理解し、Cauchy-Riemann の定理や Cauchy の積分定理・積分公式をはじめとする複素関数論の主要な定理を理解する.
To understand the notion of complex functions and the definitions of differentiation and integration for complex functions (and also related notions) and to understand major theorems of Complex Analysis such as Cauchy-Riemann's theorem, Cauchy's integral theorem and integral formula.
1. 複素関数とその微分法
2. Cauchy-Riemann の定理
3. 正則関数とその性質
4. 整級数
5. 整級数（つづき）
6. 初等関数
7. 初等関数（つづき）
8. 複素関数の性質のまとめと中間試験
9. 複素関数の線積分
10. Cauchyの積分定理と積分公式
11. Cauchyの積分定理の拡張
12. Cauchyの積分定理の拡張（つづき）
13. 正則関数のテイラー展開
14. 正則関数のテイラー展開（つづき）
15. 複素積分のまとめと期末試験
上記の内容はあくまで予定であり、学生の理解度や習熟度をみて、柔軟に授業内容・進度を変更する。
1. Complex functions, differentiation of complex functions
2. Cauchy-Riemann's theorem
3. Holomorphic functions and their properties
4. Power series
5. Power series (contd.)
6. Elementary functions
7. Elementary functions (contd.)
8. Summary (Complex functions) and midterm exam
9. Contour integration of complex functions
10. Cauchy's integral theorem and formula
11. Extension of Cauchy's integral theorem
12. Extension of Cauchy's integral theorem (contd.)
13. Taylor expansion of holomorphic functions
14. Taylor expansion of holomorphic functions (contd.)
15. Summary (Integration of complex functions) and final exam
The above plan can be changed flexibly by taking account into the understanding and learning level.
中間試験（4０％）、期末試験（6０％）により評価する。詳しくは授業第1回目に説明する。
Course grades will be based on the mid-term exam (40%) and the final exam (60%).
The details will be explained at the beginning of the course.
教科書は特に指定しない。参考書として以下を挙げておく：
1. 解析入門I, II, 杉浦光夫, 東京大学出版, ISBN: 978-4130620055, 978-4130620062
2. 複素解析, 高橋礼司, 東京大学出版, ISBN: 978-4-13-062106-9
3. 複素解析, L.V.アールフォルス (著), 笠原 乾吉 (翻訳), 現代数学社, ISBN: 978-4768701188
No text book is specified. As for references,
1. 解析入門I, II, 杉浦光夫, 東京大学出版, ISBN: 978-4130620055, 978-4130620062
2. 複素解析, 高橋礼司, 東京大学出版, ISBN: 978-4-13-062106-9
3. 複素解析, L.V.アールフォルス, 笠原 乾吉 (翻訳), 現代数学社, ISBN: 978-4768701188
学生は復習を丹念に行うように。特に、授業で紹介した定義・定理の意味を自分なりに考え直すように。単なる丸暗記による学習は行わないこと。
Students should review carefully. In particular, students are encouraged to reconsider the meaning of definitions and theorems introduced in class in their own way. Students should not learn by mere rote memorization.
解析学概論A1演習も必ず履修すること。オフィスアワー及び連絡先については初回講義時に指示する。
Students are also required to take Analysis A1 (Exercise). Office hours and contact information will be given at the first lecture.