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曲線や曲面の曲率などの微分幾何的性質を理解して具体的に与えられた曲線や曲面について計算できるようになること，
曲線・曲面に関する大域的性質の理解し実際に与えられた例に応用できるようになることが目的である。
Students become able to understand differential geometric properties such as curvatures of curves and surfaces and become able to compute them for given concrete curves and surfaces.
Students also become able to understand global natures and theorems of curves and surfaces and apply them to concrete examples.
専門的な微分幾何の基礎としてリーマン幾何学の初歩を学ぶ．
大学院で幾何を学びたい４年生，および大学院で幾何を学び始めた人は
必ず受講すること．
As the first step of professional differential geometry, we learn the basics of Riemannian geometry.
This course is necessary for students who wants to learn geometry in the graduate course of mathematics.
専門的な微分幾何の基礎としてリーマン幾何学の初歩を学ぶ．
大学院で幾何を学びたい４年生，および大学院で幾何を学び始めた人は
必ず受講すること．
As the first step of professional differential geometry, we learn the basics of Riemannian geometry.
This course is necessary for students who wants to learn geometry in the graduate course of mathematics.
専門的な微分幾何の基礎としてリーマン幾何学の初歩を学ぶ．
大学院で幾何を学びたい４年生，および大学院で幾何を学び始めた人は
必ず受講すること．
As the first step of professional differential geometry, we learn the basics of Riemannian geometry.
This course is necessary for students who wants to learn geometry in the graduate course of mathematics.
Google Classroomのクラスコードは工学部Webページにて確認すること。
学部シラバス・時間割(https://www.eng.tohoku.ac.jp/edu/syllabus-ug.html)
１．目的
ベクトル解析および偏微分方程式についての基礎を理解し、計算力と応用力を習得する。
２．概要
理工学における様々な現象の解析に用いられるベクトル解析・偏微分方程式の基礎を習得し、数学的考え方について学ぶ。
３．達成目標等
「スカラー場とベクトル場の微分と積分」、「ベクトル場に関する積分定理」、および「偏微分方程式論の基礎」を理解し、それらの課題に関する計算力と応用力を身につける。
2023年度の講義は対面で行う。ハイブリッド開講とし、オンライン受講にも対応する。Google Classroom に講義資料を置く。
Google Classroom のクラスコードは 7yeiwue
The class code for Google Classroom can be found on the Web site of
the School of Engineering:
https://www.eng.tohoku.ac.jp/edu/syllabus-ug.html (JP Only)
Students learn the basic theory and application of vector analysis and partial differential equations to understand the mathematical concepts and develop relevant calculation and application abilities.
The lecture is opened in the classroom, while online is also available. Please go to Glass Classroom to take a document
The class code of Google Classroom is 7yeiwue
この集中講義の主題は、「ラプラシアンの第1固有値を最大化する計量はユークリッド空間へのよい等長埋め込みをもつ」という命題である。
コンパクト多様体において、体積1のリーマン計量をすべて動かしてラプラシアンの第1固有値を最大化する問題（問題A）、およびリーマン計量と体積要素の対（滑らかな測度距離構造）に対する類似の問題（問題B）を考える。問題Aについて、これまでに知られている結果を概観し、とくに、閉曲面上の最大化計量が球面内の極小曲面の誘導計量として実現できるというNadirashviliの定理について詳しく解説する。次に、問題Bについて、リーマン多様体の等長はめ込みとの関係を解説し、Nadirashviliの定理の類似を定式化して証明する。この定理は、問題Bが解けると、よい等長はめ込みが得られることを主張する。
有限グラフにおいても問題A, Bと類似の問題を定式化することができ、多様体の場合と比較検討する。
The theme of this intensive course is the proposition that ``a metric that maximizes the first eigenvalue of the Laplacian admits a good isometric embedding into a Euclidean space.''
On a compact manifold, we consider the problem of maximizing the first eigenvalue of the Laplacian over all Riemannian metrics of volume 1 (Problem A), and a analogous problem for a pair of Riemannian metric and volume element (smooth metric-measure structure) (Problem B). Regarding Problem A, I will overview the known results, and in particular I will explain in detail Nadirashvili's theorem, which states that a maximizing metric on a closed surface can be realized as the induced metric on a minimal surface in a round sphere. Regarding Problem B, I will explain the relationship with isometric immersions of Riemannian manifolds, and formulate and prove an analogy of Nadirashvili's theorem. This theorem asserts that if Problem B is solved, a good isometric immersion is obtained.
It is possible to formulate problems similar to Problems A and B for finite graphs, and I will compare them with the problems on manifolds.
線形代数学AおよびBでは、行列の基本的な演算や行列式から概ね行列の対角化まで、主として数ベクトルのなす空間の基底や次元などの基本的事項とともに学んだ。この代数学序論Bでは、これらに引き続いて、一般のベクトル空間と線型写像について学ぶ。
特に、ジョルダン標準形と呼ばれる、対角化が必ずしもできない場合の標準形が一つの目標となるが、そのためにもベクトル空間の直和、商空間、テンソル積といわれるベクトル空間の間に定義される演算や、群・環・体という代数学における基本概念についても、体系的に述べるための言葉として慣れることがもう1つの目標となる。
In linear algebra A and B, we treat basics in matrix algebras such as determinants or diagonalization, together with basic notion for vector spaces such as basis or dimension. Following these knowledge we will treat general vector spaces as well as linear maps.
In particular we will learn so called Jordan canonical form for a linear transform in case of diagonalization is not possible, which will be one of the goal of the course. To describe things systematically we will need operations for vector spaces, namely direct sums, quotients and tensor products, together with basic notion in algebra such as groups, rings and fields. To become familiar with these will be another goal of the course.
この集中講義の主題は、「ラプラシアンの第1固有値を最大化する計量はユークリッド空間へのよい等長埋め込みをもつ」という命題である。
コンパクト多様体において、体積1のリーマン計量をすべて動かしてラプラシアンの第1固有値を最大化する問題（問題A）、およびリーマン計量と体積要素の対（滑らかな測度距離構造）に対する類似の問題（問題B）を考える。問題Aについて、これまでに知られている結果を概観し、とくに、閉曲面上の最大化計量が球面内の極小曲面の誘導計量として実現できるというNadirashviliの定理について詳しく解説する。次に、問題Bについて、リーマン多様体の等長はめ込みとの関係を解説し、Nadirashviliの定理の類似を定式化して証明する。この定理は、問題Bが解けると、よい等長はめ込みが得られることを主張する。
有限グラフにおいても問題A, Bと類似の問題を定式化することができ、多様体の場合と比較検討する。
The theme of this intensive course is the proposition that ``a metric that maximizes the first eigenvalue of the Laplacian admits a good isometric embedding into a Euclidean space.''
On a compact manifold, we consider the problem of maximizing the first eigenvalue of the Laplacian over all Riemannian metrics of volume 1 (Problem A), and a analogous problem for a pair of Riemannian metric and volume element (smooth metric-measure structure) (Problem B). Regarding Problem A, I will overview the known results, and in particular I will explain in detail Nadirashvili's theorem, which states that a maximizing metric on a closed surface can be realized as the induced metric on a minimal surface in a round sphere. Regarding Problem B, I will explain the relationship with isometric immersions of Riemannian manifolds, and formulate and prove an analogy of Nadirashvili's theorem. This theorem asserts that if Problem B is solved, a good isometric immersion is obtained.
It is possible to formulate problems similar to Problems A and B for finite graphs, and I will compare them with the problems on manifolds.