前期集中 その他 連講. 単位数/Credit(s): 2. 担当教員/Instructor : 理学部非常勤講師. 学期/Semester: 前期集中. 開講年度/Year: 2024. 科目ナンバリング/Course code/number: SMA-MAT560J. 使用言語/Language Used in Course: 日本語.
名古屋大学大学院多元数理科学研究科
固有値最大化と空間実現
Eigenvalue maximization and space realization
この集中講義の主題は、「ラプラシアンの第1固有値を最大化する計量はユークリッド空間へのよい等長埋め込みをもつ」という命題である。
コンパクト多様体において、体積1のリーマン計量をすべて動かしてラプラシアンの第1固有値を最大化する問題（問題A）、およびリーマン計量と体積要素の対（滑らかな測度距離構造）に対する類似の問題（問題B）を考える。問題Aについて、これまでに知られている結果を概観し、とくに、閉曲面上の最大化計量が球面内の極小曲面の誘導計量として実現できるというNadirashviliの定理について詳しく解説する。次に、問題Bについて、リーマン多様体の等長はめ込みとの関係を解説し、Nadirashviliの定理の類似を定式化して証明する。この定理は、問題Bが解けると、よい等長はめ込みが得られることを主張する。
有限グラフにおいても問題A, Bと類似の問題を定式化することができ、多様体の場合と比較検討する。
The theme of this intensive course is the proposition that ``a metric that maximizes the first eigenvalue of the Laplacian admits a good isometric embedding into a Euclidean space.''
On a compact manifold, we consider the problem of maximizing the first eigenvalue of the Laplacian over all Riemannian metrics of volume 1 (Problem A), and a analogous problem for a pair of Riemannian metric and volume element (smooth metric-measure structure) (Problem B). Regarding Problem A, I will overview the known results, and in particular I will explain in detail Nadirashvili's theorem, which states that a maximizing metric on a closed surface can be realized as the induced metric on a minimal surface in a round sphere. Regarding Problem B, I will explain the relationship with isometric immersions of Riemannian manifolds, and formulate and prove an analogy of Nadirashvili's theorem. This theorem asserts that if Problem B is solved, a good isometric immersion is obtained.
It is possible to formulate problems similar to Problems A and B for finite graphs, and I will compare them with the problems on manifolds.
微分幾何の計算手法を修得し、Nadirashviliの定理をその証明まで踏み込んで理解する。
Learn calculation methods of differential geometry and understand Nadirashvili's theorem along with its proof.
授業は、対面・板書で行う。内容と進度は以下を予定している。
1日目： リーマン幾何からの準備
ラプラシアンの定義、テンソル場（おもに2階）の空間上の内積、球面内の極小曲面を扱う。
2日目： 問題A
問題Aについて、これまでに知られている結果を概観し、問題の起源であるHerschの定理を証明する。また、Nadirashviliの定理について詳しく解説する。
3日目： 問題B（1）
問題Bについて、リーマン多様体の等長はめ込みとの関係を解説し、Nadirashviliの定理の類似を定式化して証明する。
4日目： 問題B（2）、有限グラフの場合
いくつかの例について問題Bを実際に解いてみる。有限グラフにおいて問題A, Bと類似の問題を定式化し、多様体の場合と比較検討する。
The course will be held face-to-face and by using blackboards. The plan is as follows.
Day 1: Preliminaries from Riemannian geometry
I deal with the definition of Laplacian, the inner product on the space of tensor fields (mainly second-order), and minimal surfaces in round spheres.
Day 2: Problem A
Regarding Problem A, I will review the known results and prove Hersch's theorem, which is the origin of the problem. We will also explain Nadirashvili's theorem in detail.
Day 3: Problem B (1)
Regarding Problem B, I will explain the relationship with isometric immersions of Riemannian manifolds, and formulate and prove an analogy of Nadirashvili's theorem.
Day 4: Problem B (2) and the case of finite graphs
I will show some examples for which Problem B can be solved explicitly. I formulate problems similar to Problems A and B for finite graphs and compare them with the problems on manifolds.
レポートに基づいて評価する。
Evaluation will be based on the report.
A. El Soufi, S. Ilias, Riemannian manifolds admitting isometric immersions by their first
eigenfunctions, Pacific J. Math. 195 (2000), 91-99.
F. G\"{o}ring, C. Helmberg, M. Wappler, The rotational dimension of a graph, J. Graph Theory 66 (2011), 283-302.
J. Hersch, Quatre propri\'{e}t\'{e}s isop\'{e}rim\'{e}triques de membranes sph\'{e}riques homog\'{e}nes,
C. R. Acad. Sci. Paris S\`{e}r. A-B 270 (1970), A1645-A1648.
N. Nadirashvili, Berger's isoperimetric problem and minimal immersions of surfaces, Geom. Funct. Anal. 6 (1996), 877-897.
H. Urakawa, On the least positive eigenvalue of the Laplacian for compact group manifolds, J. Math. Soc. Japan 31 (1979), 209-226.
P. C. Yang, S. T. Yau, Eigenvalues of the Laplacian of compact Riemann surfaces and minimal submanifolds,
Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci. (4) 7 (1980), 55-63.
集中講義なので、前日の講義を復習して翌日の講義に臨んでもらいたい。
Since this is an intensive course, it is desirablew to review the previous day's lecture before the next day's lecture.