前期 金曜日 ３講時. 単位数/Credit(s): 2. 担当教員/Instructor : 長谷川 浩司. 学期/Semester: 前期. 開講年度/Year: 2024. 科目ナンバリング/Course code/number: SMA-MAT201J. 使用言語/Language Used in Course: 日本語.
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多様体論講座
高等線型代数学
Advanced course in linear algebra
線形代数学AおよびBでは、行列の基本的な演算や行列式から概ね行列の対角化まで、主として数ベクトルのなす空間の基底や次元などの基本的事項とともに学んだ。この代数学序論Bでは、これらに引き続いて、一般のベクトル空間と線型写像について学ぶ。
特に、ジョルダン標準形と呼ばれる、対角化が必ずしもできない場合の標準形が一つの目標となるが、そのためにもベクトル空間の直和、商空間、テンソル積といわれるベクトル空間の間に定義される演算や、群・環・体という代数学における基本概念についても、体系的に述べるための言葉として慣れることがもう1つの目標となる。
In linear algebra A and B, we treat basics in matrix algebras such as determinants or diagonalization, together with basic notion for vector spaces such as basis or dimension. Following these knowledge we will treat general vector spaces as well as linear maps.
In particular we will learn so called Jordan canonical form for a linear transform in case of diagonalization is not possible, which will be one of the goal of the course. To describe things systematically we will need operations for vector spaces, namely direct sums, quotients and tensor products, together with basic notion in algebra such as groups, rings and fields. To become familiar with these will be another goal of the course.
一般のベクトル空間や、群、環、体などの代数における基本的概念の定義を理解する。
内積付きベクトル空間と、正規行列の標準化について理解する。
ジョルダン標準形の理論に親しむ。
To understand basic notions for general vector spaces as well as algebras such as groups, rings or fields.
To understand structure of vector spaces with inner product and canonical form of normal matrices.
To become familiar with Jordan canonical form of linear transforms.
概ね以下の項目を数回ずつ扱う。
・体上のベクトル空間の定義、基底と次元
・線型写像と行列表示、基底変換、対角化の復習、ケーレー・ハミルトンの定理
・内積付きベクトル空間と正規行列の標準化
・実対称行列の標準化と2次形式、2次曲面
・ベクトル空間の間の演算と双対空間
・環上の標準化（単因子論）とジョルダン標準形
The following contents will be delivered:
- general vector spaces over a field, basis and dimension
- linear maps and matrix presentations, their basis change, review of diagonalizarion and Cayley-Hamilton theorem
- inner product spaces and canonical form of quadratic forms, quadratic surfaces
- operations among vector spaces and the dual vector space
- theory of elementary divisors (invariant factors) for linear maps over a ring and the Jordan canonical form.
主として試験による。
Mainly according to tests.
長谷川浩司「線型代数 - linear algebra」日本評論社（2015改訂）
ISBN 978-4-535-78771-1
参考書 佐武一郎「線型代数学」裳華房（旧版1958年、1974年増補改題、新装版2015年)
ISBN 978-4-7853-1316-6
Koji Hasegawa, Linear algebra, Nihon Hyouronsha, 2015 2nd ed.
ISBN 978-4-535-78771-1
並行して実施される演習科目を履修すること。
To take the attached exercise course is needed.