幾何学総説 / Introduction to tensors and Riemannian geometry

前期 金曜日 ２講時. 単位数/Credit(s): 2. 担当教員/Instructor : 塩谷 隆. 学期/Semester: 前期. 開講年度/Year: 2024. 科目ナンバリング/Course code/number: SMA-MAT413J. 使用言語/Language Used in Course: 日本語.

主要授業科目/Essential Subjects

○

所属講座等

幾何学

授業題目

テンソルとリーマン幾何の入門

Course Title

Introduction to tensors and Riemannian geometry

授業の目的と概要

専門的な微分幾何の基礎としてリーマン幾何学の初歩を学ぶ．
大学院で幾何を学びたい４年生，および大学院で幾何を学び始めた人は
必ず受講すること．

Purpose/Abstract

As the first step of professional differential geometry, we learn the basics of Riemannian geometry.
This course is necessary for students who wants to learn geometry in the graduate course of mathematics.

学習の到達目標

テンソル計算に習熟する．
微分幾何の基礎事項であるレビ・チビタ接続，共変微分，測地線，
曲率の概念などを理解する．

Goal

Obtain the skill of tensor calculus.
Understand the basics of differential geometry such as the Levi-Civita connection, covariant derivative, geodesics, and curvature.

授業内容・方法と進度予定

1. 双対ベクトル空間
2. １次微分形式と線積分
3. テンソルとテンソル場
4. リーマン計量１
5. リーマン計量２
6. 曲線の長さとリーマン距離
7. レビ・チビタ接続
8. 写像に沿う共変微分
9. 第１変分公式と測地線
10. 曲率テンソル
11. 断面曲率とリッチ曲率
12. 指数写像
13. 完備性
14. ヤコビ場
15. 第２変分公式とボンネ・マイヤースの定理

上記は目安であり，必要に応じて変更する．

Contentsandprogressscheduleofthe class

1. Dual vector space
2. Differential 1-forms and line integral
3. Tensors and tensor fields
4. Riemannian metric 1
5. Riemannian metric 2
6. Length of curves and Riemannian distance
7. Levi-Civita connection
8. Covariant derivative along a map
9. First variation formula and geodesics
10. Curvature tensor
11. Sectional curvature and Ricci curvature
12. Exponential map
13. Completeness
14. Jacobi field
15. Second fundamental formula and Bonnet-Myers theorem

These are the rough plan only and will be changed as necessary.

成績評価方法

レポートにより評価する．

Grading

By assignments.

教科書および参考書

塩谷 隆 著，重点解説 基礎微分幾何，数理科学 SGCライブラリ70，サイエンス社．

授業時間外学習

各回の講義内容を復習して，教科書の練習問題を解く．

Preparation and review

Review the substance of each lecture and solve problems in the text book.

その他

多様体の基礎知識は仮定する．
IGPASの学生が受講する場合は，英語で講義を行う．

Google ClassroomのクラスコードやISTUのリンク等の授業実施に関する情報は理学部・理学研究科オンライン授業ポータルサイト（https://sites.google.com/tohoku.ac.jp/sci/?pli=1）を確認してください。
Information on class implementation such as Google Classroom class code and ISTU link will be posted on the online class portal site of the Faculty of Science and Graduate School of Science.

Remarks

The knowledge of differentiable manifold is assumed.