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この授業は複素関数論（= 複素数を変数に持ち複素数を値にとる関数に対する微積分学）に関するものである。全学教育では複素関数論の基礎を概観し、特に複素微分や線積分、留数計算やその実積分への応用など主に計算に重点が置かれていただろう。この授業では理論面の強化を目指し、全学教育では証明が十分に述べられなかった定理等についてその証明を与えたり、定理等の理論的背景や関連する諸定理についても紹介する。加えて全学教育では扱えなかった内容に関しても扱ってゆく。またイプシロン・デルタ論法の理解を深め、例えば関数項級数の（一様）収束性や項別微分・積分など、解析学の基礎を理解する上で欠かせない技術の習得も目指す。
This course is concerned with the foundation of Complex Analysis, which is Calculus for complex functions. Students are supposed to have already taken the introductory course of Complex Analysis in the general education. In this course, we shall reinforce the theoretical aspect of the content which has already been treated in the general education by giving complete proofs to theorems and by exhibiting further related theorems. Moreover, we will also treat topics which have not been covered in the general education. Furthermore, students are expected to develop an understanding of the arguments based on the (ε, δ)-definition of limit and to master a skill for proving, e.g., (uniform) convergence and termwise differentiation or integration for function series.
この授業は解析学概論B2で習った測度論とルベーグ積分論に関する演習と発展的話題としてフーリエ解析や超関数理論について学ぶ。
In this course, exercises on Analysis B2 concerned with measure theory and Lebesgue integrals will be given. Moreover, Fourier Analysis and distribution theory will also be treated as an advanced topic.
ある性質（例えば連続性や可積分性）をもつ関数全体からなる集合に代数的、位相的な構造を入れたものを関数空間とよぶ。関数空間は一般的に無限次元の空間となるが、そのような（無限次元の）関数空間に対して線形代数学や解析学を拡張するのが関数解析学である。この講義では関数解析学の基礎（解析学概論D程度）を前提に、（自己）共役作用素、コンパクト作用素論、スペクトル理論入門、半群理論入門などについて学んでいく。
Function space means a set of functions sharing common features (e.g., continuity and integrability) equipped with algebraic and topological structures. In general, function spaces are infinite-dimensional, and therefore, the purpose of Functional Analysis is to extend Linear Algebra and Analysis (e.g., Calculus) to such (infinite-dimensional) function spaces. In this class, based on basic knowledge (about, e.g., linear/normed/Banach/Hilbert spaces, fundamental theorems (Hahn-Banach/Baire Category/Banach-Steinhaus (uniform boundedness principle)/Open Mapping/Closed Graph theorems), weak (star) topology and convergence, Banach-Alaoglu and Kakutani's theorems, uniform convexity, Lebesgue spaces and Hilbert spaces, Riesz representation theorem, Lax-Milgram's theorem), we shall learn an advanced course of Functional Analysis such as (self-)adjoint operator, compact operator theory, (introductory) spectral theory and (introductory) semigroup theory.
ある性質（例えば連続性や可積分性）をもつ関数全体からなる集合に代数的、位相的な構造を入れたものを関数空間とよぶ。関数空間は一般的に無限次元の空間となるが、そのような（無限次元の）関数空間に対して線形代数学や解析学を拡張するのが関数解析学である。この講義では関数解析学の基礎（解析学概論D程度）を前提に、（自己）共役作用素、コンパクト作用素論、スペクトル理論入門、半群理論入門などについて学んでいく。
Function space means a set of functions sharing common features (e.g., continuity and integrability) equipped with algebraic and topological structures. In general, function spaces are infinite-dimensional, and therefore, the purpose of Functional Analysis is to extend Linear Algebra and Analysis (e.g., Calculus) to such (infinite-dimensional) function spaces. In this class, based on basic knowledge (about, e.g., linear/normed/Banach/Hilbert spaces, fundamental theorems (Hahn-Banach/Baire Category/Banach-Steinhaus (uniform boundedness principle)/Open Mapping/Closed Graph theorems), weak (star) topology and convergence, Banach-Alaoglu and Kakutani's theorems, uniform convexity, Lebesgue spaces and Hilbert spaces, Riesz representation theorem, Lax-Milgram's theorem), we shall learn an advanced course of Functional Analysis such as (self-)adjoint operator, compact operator theory, (introductory) spectral theory and (introductory) semigroup theory.
ある性質（例えば連続性や可積分性）をもつ関数全体からなる集合に代数的、位相的な構造を入れたものを関数空間とよぶ。関数空間は一般的に無限次元の空間となるが、そのような（無限次元の）関数空間に対して線形代数学や解析学を拡張するのが関数解析学である。この講義では関数解析学の基礎（解析学概論D程度）を前提に、（自己）共役作用素、コンパクト作用素論、スペクトル理論入門、半群理論入門などについて学んでいく。
Function space means a set of functions sharing common features (e.g., continuity and integrability) equipped with algebraic and topological structures. In general, function spaces are infinite-dimensional, and therefore, the purpose of Functional Analysis is to extend Linear Algebra and Analysis (e.g., Calculus) to such (infinite-dimensional) function spaces. In this class, based on basic knowledge (about, e.g., linear/normed/Banach/Hilbert spaces, fundamental theorems (Hahn-Banach/Baire Category/Banach-Steinhaus (uniform boundedness principle)/Open Mapping/Closed Graph theorems), weak (star) topology and convergence, Banach-Alaoglu and Kakutani's theorems, uniform convexity, Lebesgue spaces and Hilbert spaces, Riesz representation theorem, Lax-Milgram's theorem), we shall learn an advanced course of Functional Analysis such as (self-)adjoint operator, compact operator theory, (introductory) spectral theory and (introductory) semigroup theory.
実解析学及び複素解析の基礎について学ぶ。具体的に以下のテーマに集中して演習を行う。
前半は数列や級数の収束・発散、関数の連続性などの解析学における基礎理論について演習を通して学ぶ。
後半は複素関数に関する基礎事項について演習を通して学ぶ。
This course will focus on the basic theory of real and complex analysis. In particular, we will perform exercises on the following topics.
In the first half of the course, we will introduce students to the basic theory of analysis such as convergence and divergence of sequences and series and continuity of functions.
In the latter half, the basic theory of complex functions will be introduced.
一変数の複素解析学の基礎について講義する. 正則関数の基本的な性質を理解させることやその扱い方を習熟させることを目指し, 複素数の持つ基本的な性質から出発して正則関数の概念やコーシーの積分定理を核とした理論について解説する.
Aiming to understand the basic properties of holomorphic functions, I will explain the foundations of complex analysis of one variable from basic properties of the complex number field to the theory of holomorphic functions and Cauchy's integral formula.
Google Classroomのクラスコードは工学部Webページにて確認すること。
学部シラバス・時間割(https://www.eng.tohoku.ac.jp/edu/syllabus-ug.html)
この科目ではGoogle Classroomを使用して、講義資料と講義情報を発信します。
Google Classroomにアクセスし、クラスコードを入力してください。
1. 目的
工学に応用されることの多い数学の分野の中から、下記の内容の基礎を学ぶ。
2. 概要
複素関数の微分と積分、複素級数と正則関数の基礎について、講義と演習を行う。
3. 達成目標等
以下のような能力を習得することを目標とする。
・本学科の学習・教育目標のA，B，C，Kに関する能力を含めて修得する。
・公式の適用条件、定理の内容を理解し、説明できる。
・公式および定理を、具体的な計算や基礎的な問題へ応用できる。
The class code for Google Classroom can be found on the Web site of
the School of Engineering:
https://www.eng.tohoku.ac.jp/edu/syllabus-ug.html (JP Only)
This course provides lectures and exercises on the fundamentals of advanced engineering mathematics, shown below.
・Differentiation and integration of complex functions
・Complex series
・Holomorphic functions
Goal of study
This course is designed to help students understand the fundamental formulas and theorems and be able to apply them to specific calculations and basic problems.