後期 金曜日 ３講時 / 後期 金曜日 ４講時. 単位数/Credit(s): 2. 担当教員/Instructor : 赤木 剛朗. 学期/Semester: 後期. 開講年度/Year: 2024. 科目ナンバリング/Course code/number: SMA-MAT382J. 使用言語/Language Used in Course: 日本語.
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応用数理講座
測度論とルベーグ積分論とその応用（演習や講義を通して）
Measure theory, Lebesgue integration and their applications (via exercises and lectures)
この授業は解析学概論B2で習った測度論とルベーグ積分論に関する演習と発展的話題としてフーリエ解析や超関数理論について学ぶ。
In this course, exercises on Analysis B2 concerned with measure theory and Lebesgue integrals will be given. Moreover, Fourier Analysis and distribution theory will also be treated as an advanced topic.
演習を通して測度論とルベーグ積分論とその応用について理解を深める。特にフビニとトネリの定理、ルベーグ空間や合成積、ルベーグの微分定理や符号付き測度とその分解定理などについて理解を深める。さらにフーリエ解析やシュワルツ超関数理論についても理解する。
The goal of this course is to deepen students' understanding of the measure theory, Lebesgue integration and their applications via exercises. In particular, at the end of the course, students are supposed to understand
- Fubini and Tonelli's theorems
- Lebesgue spaces and convolution
- Lebesgue's differentiation theorem
- signed measure and decomposition theorem
Moreover, students are also supposed to understand
- Fourier Analysis
- Schwartz distribution theory
解析学概論B2の講義内容に応じた演習を実施する。
1. ガイダンス
2. 解析学概論B1の復習
3. フビニの定理とトネリの定理
4. フビニの定理とトネリの定理（続き）
5. フビニの定理とトネリの定理（続き）
6. ルベーグ空間（L^p 空間）
7. ルベーグ空間（L^p 空間）（続き）
8. ルベーグ空間（L^p 空間）（続き）
9. 合成積
10. 合成積（続き）
11. ルベーグの微分定理
12. ルベーグの微分定理（続き）
13. 測度の一般化 〜 符号付き測度、複素測度 〜
14. 分解定理、ラドン=ニコディムの定理
15. まとめ、期末試験
項目番号は授業回数に対応するものではない。
また学生の理解状況に応じて進度は調整する。
さらに以下の項目に関する講義も実施する。
I. フーリエ解析
II. シュワルツ超関数理論
Exercises for Analysis B2 will be given.
1. Guidance
2. Review on Analysis B1
3. Fubini and Tonelli's theorems
4. Fubini and Tonelli's theorems (continued)
5. Fubini and Tonelli's theorems (continued)
6. Lebesgue spaces (L^p spaces)
7. Lebesgue spaces (L^p spaces) (continued)
8. Lebesgue spaces (L^p spaces) (continued)
9. Convolution
10. Convolution (continued)
11. Lebesgue's differentiation theorem
12. Lebesgue's differentiation theorem (continued)
13. Generalization of measure - signed measure and complex measure -
14. Decomposition theorems, Radon-Nikodym's theorem
15. Summary, final exam
Moreover, lectures on the following topics are also given.
I. Fourier Analysis
II. Schwartz distribution theory
期末試験、小テストやレポートなどから総合的に評価する。
Based on the result of the final exam and the evaluation of mini-tests and reports
教科書：
指定なし
参考書：
ルベーグ積分入門, 伊藤清三, 裳華房
ルベーグ積分入門、テレンス・タオ（船木直久・監訳、乙部厳己・訳）、朝倉書店
ルベーグ積分入門 使うための理論と演習、吉田伸生、遊星社
ルベーグ積分と関数解析、谷島賢二、朝倉書店
関数解析―その理論と応用に向けて、ハイム・ブレジス（藤田宏・監訳, 小西芳雄・訳）、産業図書
毎回の講義や演習の復習
Review of each lecture and exercise
上記の授業内容と進度予定は様々な要因で変更されることがある。その場合は、授業中に告知する。
The contents and schedule mentioned above may be changed for various reasons. If any, such a change will be announced during lectures.