前期 月曜日 ３講時. 単位数/Credit(s): 2. 担当教員/Instructor : 田中 敏. 学期/Semester: 前期. 開講年度/Year: 2024. 科目ナンバリング/Course code/number: SMA-MAT440.
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解析学講座
函数解析続論
Functional Analysis, continued
ある性質（例えば連続性や可積分性）をもつ関数全体からなる集合に代数的、位相的な構造を入れたものを関数空間とよぶ。関数空間は一般的に無限次元の空間となるが、そのような（無限次元の）関数空間に対して線形代数学や解析学を拡張するのが関数解析学である。この講義では関数解析学の基礎（解析学概論D程度）を前提に、（自己）共役作用素、コンパクト作用素論、スペクトル理論入門、半群理論入門などについて学んでいく。
Function space means a set of functions sharing common features (e.g., continuity and integrability) equipped with algebraic and topological structures. In general, function spaces are infinite-dimensional, and therefore, the purpose of Functional Analysis is to extend Linear Algebra and Analysis (e.g., Calculus) to such (infinite-dimensional) function spaces. In this class, based on basic knowledge (about, e.g., linear/normed/Banach/Hilbert spaces, fundamental theorems (Hahn-Banach/Baire Category/Banach-Steinhaus (uniform boundedness principle)/Open Mapping/Closed Graph theorems), weak (star) topology and convergence, Banach-Alaoglu and Kakutani's theorems, uniform convexity, Lebesgue spaces and Hilbert spaces, Riesz representation theorem, Lax-Milgram's theorem), we shall learn an advanced course of Functional Analysis such as (self-)adjoint operator, compact operator theory, (introductory) spectral theory and (introductory) semigroup theory.
（自己）共役作用素、コンパクト作用素論、スペクトル理論入門、半群理論入門の基礎について理解する。
To understand basic topics on (self-)adjoint operators, compact operator theory, spectral theory and semigroup theory.
1. 関数解析の基礎（ざっと復習）
2. スペクトルとリゾルベント
3. 共役作用素
4. コンパクト作用素
5. Fredholm-Riesz-Schauder の理論
6. コンパクト性に関わる諸結果
7. 閉作用素の定義と例
8. 閉作用素のスペクトル
9. コンパクトな自己共役作用素のスペクトル分解
10. 有界自己共役作用素のスペクトル分解
11. 積分作用素の Hilbert-Schmidt 理論
12. Banach 空間値の微分積分
13. 半群理論 (1) 半群と無限小生成作用素の定義、続半群
14. 半群理論 (2) Hille-Yosida の定理 (1)
15. 半群理論 (3) Hille-Yosida の定理 (2)
講義の進度は受講生の理解度に応じて適宜調整する。
1. Brief review on Functional Analysis
2. Spectrum and resolvent
3. Adjoint operator
4. Compact operator
5. Fredholm-Riesz-Schauder Thoery
6. Results related to compactness
7. Definition and examples of closed operators
8. Spectrum of closed operators
9. Spectral decomposition of compact self-adjoint operators
10. Spectral decomposition of bounded self-adjoint operators
11. Hilbert-Schmidt theory of integral operators
12. Calculus on Banach space values
13. Semigroup theory (1) Definitions of semigroup and infinitesimal generator, continuous semigroup
14. Semigroup theory (2) Hille-Yosida's theorem (1)
15. Semigroup theory (3) Hille-Yosida's theorem (2)
The progress of the course will be suitably adjusted according to the understanding of the attendees.
レポートの評価
Evaluation of reports
教科書は指定しない。参考書として以下を挙げる。
[1] 宮島静雄、関数解析、横浜図書
[2] Haim Brezis, Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations, Springer Verlag
No textbook is specified. References are as follows:
Haim Brezis, Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations, Springer Verlag
前回の講義の復習
Review on the last lecture.
この講義は解析学概論D (2023年度) の続編である。
This lecture is a sequel of Analysis D (Oct. 2023-Feb 2024).