解析学概論Ｂ１ / An introduction to measure theory and Lebesgue integration

前期 水曜日 ２講時. 単位数/Credit(s): 2. 担当教員/Instructor : 赤木 剛朗. 学期/Semester: 前期. 開講年度/Year: 2024. 科目ナンバリング/Course code/number: SMA-MAT331J. 使用言語/Language Used in Course: 日本語.

主要授業科目/Essential Subjects

○

所属講座等

応用数理講座

授業題目

測度論とルベーグ積分論の入門

Course Title

An introduction to measure theory and Lebesgue integration

授業の目的と概要

この講義では測度論とルベーグ積分論の基礎について扱う。

Purpose/Abstract

This course is concerned with an introduction to measure theory and Lebesgue integration.

学習の到達目標

測度論とルベーグ積分の基礎について理解する。特に（抽象的な）完全加法族、測度、可測関数、積分の定義や性質、また（より具体的な）ルベーグ測度やルベーグ積分の定義や性質について理解する。

Goal

The goal of this course is to encourage students to understand the basics of the measure theory and Lebesgue integration, in particular,
- Definitions and properties of (abstract) σ-algebra, measure, measurable functions, integral and (more concrete) Lebesgue measure and integral
- Convergence theorems

授業内容・方法と進度予定

1. ガイダンス
2. 面積と測度　〜 ジョルダンからルベーグへ 〜
3. ルベーグ測度の構成（簡単な場合）
4. ルベーグ測度の性質
5. ルベーグ測度の構成（一般的な場合）
6. 抽象的測度論（1）完全加法族と測度
7. 抽象的測度論（2）測度空間の完備化、拡張定理、直積測度
8. 可測関数とその性質（1）
9. 可測関数とその性質（2）
10. 積分の定義と性質（1）
11. 積分の定義と性質（2）
12. ルベーグ測度・可測関数・積分の性質
13. 収束定理（1）
14. 収束定理（2）
15. ここまでのまとめ・期末試験

項目番号は授業回数に対応するものではない。
また学生の理解状況に応じて進度は調整する。

Contentsandprogressscheduleofthe class

1. Guidance
2. Area and measure - from Jordan to Lebesgue -
3. Construction of Lebesgue measure (simple case)
4. Properties of Lebesgue measure
5. Construction of Lebesgue measure (general case)
6. Abstract measure theory (1) σ-algebra and measure
7. Abstract measure theory (2) completion of measure space, extension theorem and product measure
8. Measurable function (1)
9. Measurable function (2)
10. Definition and properties of integral (1)
11. Definition and properties of integral (2)
12. Properties of Lebesgue measure, measurable function and integral
13. Convergence theorems (1)
14. Convergence theorems (2)
15. Summary, final exam

成績評価方法

期末試験、その他（実施した場合は）小テストやレポートなどから総合的に評価する。

Grading

Based on the results of the final exam as well as evaluation of mini-tests and reports (if it applies).

教科書および参考書

教科書：
指定なし
参考書：
ルベーグ積分講義、新井仁之、日本評論社
ルベーグ積分入門, 伊藤清三, 裳華房
ルベーグ積分入門、テレンス・タオ（船木直久・監訳、乙部厳己・訳）、朝倉書店
ルベーグ積分入門　使うための理論と演習、吉田伸生、遊星社
ルベーグ積分と関数解析、谷島賢二、朝倉書店

授業時間外学習

毎回の講義の復習

Preparation and review

Review of each lecture

その他

解析学概論B1演習も必ず履修すること。
なお、上記の授業内容と進度予定は様々な要因で変更されることがある。その場合は、授業中に告知する。

Remarks

Take "Analysis Tutorial B1" as well.
The contents and schedule mentioned above may be changed for various reasons. If any, such a change will be announced during lectures.