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距離空間は2点の距離を測る距離函数を持つ集合として定義される。Euclid距離を持つEuclid空間とその部分集合はこの講義における距離空間の基本例になる。我々は距離空間について定義される様々な概念について学ぶことになる：連続写像、点列の収束、開集合、閉集合、閉包、写像列の一様収束、コンパクト性、一様連続写像、完備性、全有界性、など。
A metric space is defined to be a set with a distance function, which measures the distances of two points in the set. A Euclidean space with Euclidean metric and its subsets are basic examples of metric spaces in this lecture. We will learn the various concepts defined for metric spaces: continuous mappings, convergence of a sequence of points, open subsets, closed subsets, closures, uniform convergence of a sequence of mappings, compactness, uniformly continuous mappings, completeness, total boundedness, and so on.
数学において「近さ」を表す概念として「位相」と呼ばれるものがある。
位相の導入により、様々な図形の形を大まかに捉え、扱うことができるようになった。
本講義では位相の初歩的な概念について学び、現在の確率論の礎となっている測度論の導入を行うことを目的とする。
In mathematics, there is the notion of "topology", which represents the "nearness".
We can treat various kinds of geometric objects roughly as a benefit of introducing the topology.
In this lecture, we learn some basic notions of topology, and also we learn the measure theory as an foundation of probability theory.
ある性質（例えば連続性や可積分性）をもつ関数全体からなる集合に代数的、位相的な構造を入れたものを関数空間とよぶ。関数空間は一般的に無限次元の空間となるが、そのような（無限次元の）関数空間に対して線形代数学や解析学を拡張するのが関数解析学である。この講義では関数解析学の基礎（解析学概論D程度）を前提に、（自己）共役作用素、コンパクト作用素論、スペクトル理論入門、半群理論入門などについて学んでいく。
Function space means a set of functions sharing common features (e.g., continuity and integrability) equipped with algebraic and topological structures. In general, function spaces are infinite-dimensional, and therefore, the purpose of Functional Analysis is to extend Linear Algebra and Analysis (e.g., Calculus) to such (infinite-dimensional) function spaces. In this class, based on basic knowledge (about, e.g., linear/normed/Banach/Hilbert spaces, fundamental theorems (Hahn-Banach/Baire Category/Banach-Steinhaus (uniform boundedness principle)/Open Mapping/Closed Graph theorems), weak (star) topology and convergence, Banach-Alaoglu and Kakutani's theorems, uniform convexity, Lebesgue spaces and Hilbert spaces, Riesz representation theorem, Lax-Milgram's theorem), we shall learn an advanced course of Functional Analysis such as (self-)adjoint operator, compact operator theory, (introductory) spectral theory and (introductory) semigroup theory.
この講義では位相空間の定義とその基本的な性質について解説する. コンパクト性をはじめとする位相空間についての重要な性質とその証明を理解することを目的とする.
In this lecture, the definition and basic properties of topological spaces are explained. The main purpose of this lecture is to understand important propositions, such as compactness, and their proofs.
ある性質（例えば連続性や可積分性）をもつ関数全体からなる集合に代数的、位相的な構造を入れたものを関数空間とよぶ。関数空間は一般的に無限次元の空間となるが、そのような（無限次元の）関数空間に対して線形代数学や解析学を拡張するのが関数解析学である。この講義では関数解析学の基礎（解析学概論D程度）を前提に、（自己）共役作用素、コンパクト作用素論、スペクトル理論入門、半群理論入門などについて学んでいく。
Function space means a set of functions sharing common features (e.g., continuity and integrability) equipped with algebraic and topological structures. In general, function spaces are infinite-dimensional, and therefore, the purpose of Functional Analysis is to extend Linear Algebra and Analysis (e.g., Calculus) to such (infinite-dimensional) function spaces. In this class, based on basic knowledge (about, e.g., linear/normed/Banach/Hilbert spaces, fundamental theorems (Hahn-Banach/Baire Category/Banach-Steinhaus (uniform boundedness principle)/Open Mapping/Closed Graph theorems), weak (star) topology and convergence, Banach-Alaoglu and Kakutani's theorems, uniform convexity, Lebesgue spaces and Hilbert spaces, Riesz representation theorem, Lax-Milgram's theorem), we shall learn an advanced course of Functional Analysis such as (self-)adjoint operator, compact operator theory, (introductory) spectral theory and (introductory) semigroup theory.
ある性質（例えば連続性や可積分性）をもつ関数全体からなる集合に代数的、位相的な構造を入れたものを関数空間とよぶ。関数空間は一般的に無限次元の空間となるが、そのような（無限次元の）関数空間に対して線形代数学や解析学を拡張するのが関数解析学である。この講義では関数解析学の基礎（解析学概論D程度）を前提に、（自己）共役作用素、コンパクト作用素論、スペクトル理論入門、半群理論入門などについて学んでいく。
Function space means a set of functions sharing common features (e.g., continuity and integrability) equipped with algebraic and topological structures. In general, function spaces are infinite-dimensional, and therefore, the purpose of Functional Analysis is to extend Linear Algebra and Analysis (e.g., Calculus) to such (infinite-dimensional) function spaces. In this class, based on basic knowledge (about, e.g., linear/normed/Banach/Hilbert spaces, fundamental theorems (Hahn-Banach/Baire Category/Banach-Steinhaus (uniform boundedness principle)/Open Mapping/Closed Graph theorems), weak (star) topology and convergence, Banach-Alaoglu and Kakutani's theorems, uniform convexity, Lebesgue spaces and Hilbert spaces, Riesz representation theorem, Lax-Milgram's theorem), we shall learn an advanced course of Functional Analysis such as (self-)adjoint operator, compact operator theory, (introductory) spectral theory and (introductory) semigroup theory.
数学及び数理科学を学ぶために必要な基礎的な事柄について学習する。具体的には、選択公理、数列の収束、函数の連続性、実数について学ぶ。これらの概念を理解し、これらを厳密に取り扱う技術を習得することを目的とする。
This lecture is on the fundamental matters for the study of mathematics and mathematical sciences. The main part is on axiom of choice, convergence of sequences, continuity of functions and real numbers. The purpose of this course is to understand these concepts and to acquire the skills to deal with them rigorously.
微分方程式の解を具体的に求めることが困難であるとき、未知関数自体を「モノ」とみなして線形代数学の枠組みに当てはめると解の存在をうまく証明できることがある。但し、次のような点が問題となり、これらは関数空間の無限次元性に起因する：
(1) 同一空間上の線型写像において全射性と単射性は同値ではなく、また連続作用素は有界とは限らない
(2) 関数列に様々な収束概念を考えられ、それぞれ異なる状況が出現する
(3) 有界閉集合はコンパクトであるとは限らない
函数解析学は、より一般的な設定の下で無限次元線型空間における線形代数学・微積分学を展開するものであり、微分方程式論、確率論、スペクトル理論、エルゴード理論など現代数学の様々な分野での基本的道具として応用されている。
It is sometimes difficult to derive the solution to a differential equation explicitly. However there are some cases where one can show the existence of that by regarding the unknown function as an element of a linear space and by using the idea in the linear algebra. Nevertheless, we have some problems which make our discussion difficult :
(1) the injectivity and the surjectivity of a linear map are not equivalent each other, and a continuous linear map is not necessarily bounded,
(2) there are many notions of convergence in the sequence of functions,
(3) bounded and closed set is not necessarily compact.
In this course of functional analysis, we develop the analysis on the infinite-dimensional linear spaces under the abstract setting. Functional analysis is applied to a variety of fields, such as the theory of differential equations, probability theory, spectral theory, ergodic theory, etc.