後期 金曜日 ４講時. 単位数/Credit(s): 2. 担当教員/Instructor : 三柴 善範. 学期/Semester: 後期. 開講年度/Year: 2024. 科目ナンバリング/Course code/number: SMA-MAT102J. 使用言語/Language Used in Course: 日本語.
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代数学講座
基礎数学続論
Continuation of Basics of Mathematics
数学及び数理科学を学ぶために必要な基礎的な事柄について学習する。具体的には、選択公理、数列の収束、函数の連続性、実数について学ぶ。これらの概念を理解し、これらを厳密に取り扱う技術を習得することを目的とする。
This lecture is on the fundamental matters for the study of mathematics and mathematical sciences. The main part is on axiom of choice, convergence of sequences, continuity of functions and real numbers. The purpose of this course is to understand these concepts and to acquire the skills to deal with them rigorously.
数学及び数理科学を学ぶ上で必要不可欠な基礎的な事項を理解し、正しく用いることができるようになる。
Students will understand and utilize the fundamental matters which are important to study mathematics and mathematical sciences.
授業の内容・進度の予定は以下の通りである。
第1回 集合演算・写像・同値関係・濃度・順序関係の復習
第2回 集合族と選択公理
第3回 Zornの補題・整列可能定理
第4回 自然数・整数・有理数の構成
第5回 上限・下限の復習, Dedekind切断, Archimedesの原理
第6回 続集合論のまとめと中間試験
第7回 数列の収束(定義と具体例)
第8回 数列の収束(有界性・四則演算・順序・はさみうちの原理)
第9回 収束列の性質(区間縮小法の原理・Bolzano-Weierstrassの定理)
第10回 Cauchy列と完備性
第11回 函数の連続性(定義・四則演算・具体例)
第12回 連続函数の性質
第13回 函数の一様連続性
第14回 函数列の収束
第15回 解析学の基礎内容のまとめと期末試験
学生の理解を助ける目的で、適宜、演習の時間を設ける。上記の内容はあくまで予定であり、学生の理解度や習熟度をみて、柔軟に授業内容・進度を変更する。
The contents and schedule of the course are as follows.
1) Review of set operations, mapping, equivalence relation, cardinality and order relation
2) Family of sets and axiom of choice
3) Zorn's lemma and wellordering theorem
4) Natural numbers, integers and rational numbers
5) Review of infimum and supremum, Dedekind cut, Archimedes' principle
6) Summary (continued set theory) and midterm exam
7) Convergence of sequences (definition and examples)
8) Convergence of sequences (boundedness, four arithmetic operations, order, squeeze theorem)
9) Properties of convergent sequences (Principle of successive division, Bolzano-Weierstrass theorem)
10) Cauchy sequence and completeness
11) Continuity of functions (definition, four arithmetic operations, examples)
12) Properties of continuous functions
13) Uniform Continuity of Functions
14) Convergence of a sequence of functions
15) Summary (basic contents of analysis) and final exam
The above plan can be changed flexibly by taking account into the understanding and learning level. Exercises will be provided as necessary to aid students' understanding of the course.
中間試験(30%程度)・期末試験(40%程度)・小レポート課題の総評価(30%程度)によって評価する。
Students are evaluated on their submitted assignments (about 30%), the midterm examination (about 30%) and the final examination (about 40%).
教科書は使用しない。各自ノートを取ること。教材(演習問題を含む)を毎回の授業で配布する。
No textbooks will be used. Students should take notes on their own. References (including exercises) are handed out at every class.
学生は復習を丹念に行うように。特に、授業で紹介した定義・定理の意味を自分なりに考え直すように。単なる丸暗記による学習は行わないこと。また、授業で配る教材の演習問題に積極的に取り組むこと。
Students should review carefully. In particular, students are encouraged to reconsider the meaning of definitions and theorems introduced in class in their own way. Students should not learn by mere rote memorization. In addition, students should tackle actively the exercises in the course materials handed out in class.
この講義の内容は数学及び数理科学の基礎であり、数学の他の分野の学習に必要です。この講義内容を理解できないと、今後の数学の学習に大きな困難が生じます。単に授業に出席するだけでは授業の内容を理解することはできません。しっかりと復習を行ってください。また、この講義を通して、大学における数学の勉強の仕方を身につけてください。
The content of this course is fundamental of mathematics and the mathematical sciences and is necessary for the study of other areas of mathematics. Without understanding the content of this course, students will have great difficulty in their future study of mathematics. Simply attending class is not enough to understand the course content. Students are required to review the material thoroughly. Also, through this course, students should learn how to study mathematics in university.