後期 月曜日 ３講時. 単位数/Credit(s): 2. 担当教員/Instructor : 見村 万佐人. 学期/Semester: 後期. 開講年度/Year: 2024. 科目ナンバリング/Course code/number: SMA-MAT216J. 使用言語/Language Used in Course: 日本語.
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幾何学講座
位相空間論入門
Introduction to Topological Spaces
この講義では位相空間の定義とその基本的な性質について解説する. コンパクト性をはじめとする位相空間についての重要な性質とその証明を理解することを目的とする.
In this lecture, the definition and basic properties of topological spaces are explained. The main purpose of this lecture is to understand important propositions, such as compactness, and their proofs.
位相空間の定義と基本的な性質を理解し, 重要な命題を順序立てて証明できるようになることを目的とする. 具体的には, 以下の通り.
(1) 位相構造を与えることの意味を理解する.
(2) 連続写像の定義とその基本的な性質について理解する.
(3) もっとも重要な位相的性質であるコンパクト性について理解する.
(4) Hausdorff の分離性質や連結性について理解する.
The goal of this lecture is to understand the definition and basic properties of topological spaces, and important propositions. The details are listed below:
(1) To understand the meaning of topological spaces.
(2) To understand the definition and properties of continuous maps.
(3) To understand the concept of compactness, which is the most important property in the present course.
(4) To understand the notion of the Hausdorff property and connectivity.
おおむね以下の内容を扱う:
- 距離空間の復習
- 位相空間の定義（開集合系）
- 写像の連続性
- 閉集合系, 近傍系
- 相対位相
- コンパクト性
- Hausdroff の分離性質
- 位相の生成
- 開基, 準開基
- 積位相
- 商位相
- 連結性
- 可算公理, 可分性
- いろいろな分離性質
- いくつかの応用
受講者の理解状況に応じて内容, 進度は適宜調整する; 上の内容は暫定的なものである. 本科目では演習も重要であるので, 適宜Google classroomを用いた小テストの機会を設ける.
The following items will be treated.
- Review of metric spaces.
- Definition of topological spaces.
- Continuity of maps.
- Closed set systems,. neighborhood systems.
- Relative topology for subsets.
- Compactness.
- The Hausdorff property.
- Generation of topology.
- Open base, open subbase.
- Product topology.
- Quotient topology.
- Connectivity.
- Coutability, separability.
- Several separation properties.
- Some applications.
The above plan is subject to possible changes according to the acquirement of students. In principle, a short exam will be performed via Google classroom.
以下の2要素から算出する:
- 定期試験（中間試験・期末試験）の成績,
- 小テストの出来.
The grade will be computed from the following two factors:
- The scores of mid/final exams.
- The scores of short exams.
教科書は特に指定しませんが, 以下の2冊を挙げます.
[1](参考書) 川崎徹郎. 『位相空間 例と演習』, 共立出版, 2020, ISBN:978-4-320-11439-5
[2](副読本) 斎藤毅. 『集合と位相』, 東京大学出版会, 2009, ISBN:978-4-13-062958-4
[1]は参考書で, 詳しい説明や例が載っています. ただし, 進度や内容は必ずしも準拠しているわけではありません.
[2]は副読本です. こちらは数学的な視点が高度ですが, 学年が進んだ後に読み返しても学びのある本です.
No specific textbook is used; the following two books are related to the lectures.
[1] KAWASAKI Tetsuro, "Topological spaces: examples and exercises", Kyoritsu, 2020, ISBN:978-4-320-11439-5
[2] SAITO Takeshi, "Sets and topology", University of Tokyo Press, 2009, ISBN:978-4-13-062958-4
[1] contains several interesting examples; however, it does not mean that the present course is completely based on it.
[2] is a good treatise of topological spaces: it may be sometimes useful even for graduate students.
ごくごく一部の例外的人物を除き, 位相空間論を人の話を聴いているだけで理解するというのは難しいのではないかと思います. 予習は不要ですが, 毎回の講義内容を復習することは必須です. 小テストの問題を解き直すことが重要です.
単なる丸暗記ではなく, 定義の意味, 定理の証明/意味, それらの繋がりなどを理解することを意識してください.
具体例や演習問題を解くなどして自分で手を動かして, 計算法を身につけて概念に慣れることも大変大事です.
It is quite difficult to understand basic theory of topological spaces only by listening to the lectures. Preparation is not required; on the other hand, reviewing is indispensable for understanding. Specially, solving again the problems of short exams and in the exercise session is highly recommended.
この講義は選択必修という扱いですが, 履修を強く推奨します. 3年生以降の学習内容の土台の１つで, しかも独学が難しい内容です. さらに, (いくつかは履修しなければいけない)選択必修科目の中では内容が最も基本的です.
4セメスターになっても証明をしっかりと記述することができない（例えば, 証明中に「現在進行中の議論において何が仮定されていて何を証明したいのか」が明瞭でないなど）, 抽象的が議論ができない, 論理の処理（否定やならば, 述語論理：「任意の（∀）」や「存在する（∃）」が入る論理式など）が正確にできないといった受講者が毎年存在します. そのまま5セメスターに突入してしまうと取り返しがほぼつきません. この講義ではこれらの鍛錬にもなる例も扱うので, 初回講義時点で不安がある受講者は本講義が最後の砦だと思って危機感を持って取り組んで下さい.