前期 金曜日 １講時. 単位数/Credit(s): 2. 担当教員/Instructor : 黒木 玄. 学期/Semester: 前期. 開講年度/Year: 2024. 科目ナンバリング/Course code/number: SMA-MAT211J. 使用言語/Language Used in Course: 日本語.
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多様体論講座
距離空間とEuclid空間の位相
Metric spaces and topology of Euclidean spaces
距離空間は2点の距離を測る距離函数を持つ集合として定義される。Euclid距離を持つEuclid空間とその部分集合はこの講義における距離空間の基本例になる。我々は距離空間について定義される様々な概念について学ぶことになる：連続写像、点列の収束、開集合、閉集合、閉包、写像列の一様収束、コンパクト性、一様連続写像、完備性、全有界性、など。
A metric space is defined to be a set with a distance function, which measures the distances of two points in the set. A Euclidean space with Euclidean metric and its subsets are basic examples of metric spaces in this lecture. We will learn the various concepts defined for metric spaces: continuous mappings, convergence of a sequence of points, open subsets, closed subsets, closures, uniform convergence of a sequence of mappings, compactness, uniformly continuous mappings, completeness, total boundedness, and so on.
距離空間について定義される基本概念を理解すること。
To understand the fundamental concepts defined for metric spaces.
以下の順番に講義を進める予定である。
1. 上限、下限、基本的な不等式達、写像の像と逆像
2. ベクトル空間のノルム
3. 距離空間と点列の収束
4. 連続写像
5. 例
6. 開集合と位相空間
7. 閉集合と閉包
8. 例
9. 写像列の一様収束
10. コンパクト性と一様連続写像
11. 完備性と全有界性
12. 例
13. 距離空間の完備化
14. 例
15. 例
The lecture will proceed in the following order.
1. supremum, infimum, fundamental inequalities, and images and pullbacks of mappings
2. Norms of vector spaces
3. Metric spaces and convergence of a sequence of points
4. Continuous mappings
5. Examples
6. Open subsets and topological spaces
7. Closed subsets and closures
8. Examples
9. Uniform convergence of a sequance of mappings
10. Compactness and uniformly continuous mappings
11. Completeness and total-boundedness
12. Examples
13. Completion of a metric space
14. Examples
15. Examples
期末試験または期末レポートで評価する。
Final exam or final report.
参考書：
* 内田伏一『集合と位相』裳華房(1986, 2019) ISBN978-4-7853-1412-5
一応参考書としてこの本を挙げておきますが、実際の講義は独自のノートに基いて行われます。
できるだけ講義ノートも配布するようにする予定です。
講義の具体的な内容は
* https://github.com/genkuroki/MetricSpaces
にあるPDFファイルを見ればわかります。
The details of the lecture can be found in the PDF file at https://github.com/genkuroki/MetricSpaces.
時間をかけて、基本的な考え方を十分に理解してください。
Please take sufficient time to fully understand the fundamental concepts.