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専門的な微分幾何の基礎としてリーマン幾何学の初歩を学ぶ．
大学院で幾何を学びたい４年生，および大学院で幾何を学び始めた人は
必ず受講すること．
As the first step of professional differential geometry, we learn the basics of Riemannian geometry.
This course is necessary for students who wants to learn geometry in the graduate course of mathematics.
専門的な微分幾何の基礎としてリーマン幾何学の初歩を学ぶ．
大学院で幾何を学びたい４年生，および大学院で幾何を学び始めた人は
必ず受講すること．
As the first step of professional differential geometry, we learn the basics of Riemannian geometry.
This course is necessary for students who wants to learn geometry in the graduate course of mathematics.
専門的な微分幾何の基礎としてリーマン幾何学の初歩を学ぶ．
大学院で幾何を学びたい４年生，および大学院で幾何を学び始めた人は
必ず受講すること．
As the first step of professional differential geometry, we learn the basics of Riemannian geometry.
This course is necessary for students who wants to learn geometry in the graduate course of mathematics.
曲線や曲面の曲率などの微分幾何的性質を理解して具体的に与えられた曲線や曲面について計算できるようになること，
曲線・曲面に関する大域的性質の理解し実際に与えられた例に応用できるようになることが目的である。
Students become able to understand differential geometric properties such as curvatures of curves and surfaces and become able to compute them for given concrete curves and surfaces.
Students also become able to understand global natures and theorems of curves and surfaces and apply them to concrete examples.
Google Classroomのクラスコードは工学研究科Webページ
https://www.eng.tohoku.ac.jp/edu/syllabus-g.html
（大学院シラバス・時間割・履修登録）にて確認すること。
大きな荷重・変形などの過酷な環境下での先端材料の使用には，広く用いられる微小変形理論の枠組みを超えた総合的な評価が不可欠である。本科目では，変位とひずみ，ひずみ速度，応力と応力速度，運動方程式，構成方程式等，有限変形理論の基礎について講述する。
本講義は、Google Classroomを利用する。その場合のクラスコードは「mbfk6d7」である。
The class code for Google Classroom can be found on the Web site of the School of Engineering:
https://www.eng.tohoku.ac.jp/english/academics/master.html (under "Timetable & Course Description")
Focusing on the comprehensive evaluation of strength and function of advanced materials systems, a lecture on the fundamentals of finite deformation theory is given, which include displacement and strain, strain rate, stress and stress rate, equation of motion, constitutive equation, and so on.
Google Classroom will be used for this lecture. The class code is "mbfk6d7".
この集中講義の主題は、「ラプラシアンの第1固有値を最大化する計量はユークリッド空間へのよい等長埋め込みをもつ」という命題である。
コンパクト多様体において、体積1のリーマン計量をすべて動かしてラプラシアンの第1固有値を最大化する問題（問題A）、およびリーマン計量と体積要素の対（滑らかな測度距離構造）に対する類似の問題（問題B）を考える。問題Aについて、これまでに知られている結果を概観し、とくに、閉曲面上の最大化計量が球面内の極小曲面の誘導計量として実現できるというNadirashviliの定理について詳しく解説する。次に、問題Bについて、リーマン多様体の等長はめ込みとの関係を解説し、Nadirashviliの定理の類似を定式化して証明する。この定理は、問題Bが解けると、よい等長はめ込みが得られることを主張する。
有限グラフにおいても問題A, Bと類似の問題を定式化することができ、多様体の場合と比較検討する。
The theme of this intensive course is the proposition that ``a metric that maximizes the first eigenvalue of the Laplacian admits a good isometric embedding into a Euclidean space.''
On a compact manifold, we consider the problem of maximizing the first eigenvalue of the Laplacian over all Riemannian metrics of volume 1 (Problem A), and a analogous problem for a pair of Riemannian metric and volume element (smooth metric-measure structure) (Problem B). Regarding Problem A, I will overview the known results, and in particular I will explain in detail Nadirashvili's theorem, which states that a maximizing metric on a closed surface can be realized as the induced metric on a minimal surface in a round sphere. Regarding Problem B, I will explain the relationship with isometric immersions of Riemannian manifolds, and formulate and prove an analogy of Nadirashvili's theorem. This theorem asserts that if Problem B is solved, a good isometric immersion is obtained.
It is possible to formulate problems similar to Problems A and B for finite graphs, and I will compare them with the problems on manifolds.
この集中講義の主題は、「ラプラシアンの第1固有値を最大化する計量はユークリッド空間へのよい等長埋め込みをもつ」という命題である。
コンパクト多様体において、体積1のリーマン計量をすべて動かしてラプラシアンの第1固有値を最大化する問題（問題A）、およびリーマン計量と体積要素の対（滑らかな測度距離構造）に対する類似の問題（問題B）を考える。問題Aについて、これまでに知られている結果を概観し、とくに、閉曲面上の最大化計量が球面内の極小曲面の誘導計量として実現できるというNadirashviliの定理について詳しく解説する。次に、問題Bについて、リーマン多様体の等長はめ込みとの関係を解説し、Nadirashviliの定理の類似を定式化して証明する。この定理は、問題Bが解けると、よい等長はめ込みが得られることを主張する。
有限グラフにおいても問題A, Bと類似の問題を定式化することができ、多様体の場合と比較検討する。
The theme of this intensive course is the proposition that ``a metric that maximizes the first eigenvalue of the Laplacian admits a good isometric embedding into a Euclidean space.''
On a compact manifold, we consider the problem of maximizing the first eigenvalue of the Laplacian over all Riemannian metrics of volume 1 (Problem A), and a analogous problem for a pair of Riemannian metric and volume element (smooth metric-measure structure) (Problem B). Regarding Problem A, I will overview the known results, and in particular I will explain in detail Nadirashvili's theorem, which states that a maximizing metric on a closed surface can be realized as the induced metric on a minimal surface in a round sphere. Regarding Problem B, I will explain the relationship with isometric immersions of Riemannian manifolds, and formulate and prove an analogy of Nadirashvili's theorem. This theorem asserts that if Problem B is solved, a good isometric immersion is obtained.
It is possible to formulate problems similar to Problems A and B for finite graphs, and I will compare them with the problems on manifolds.
相対論は、宇宙の姿や進化を記述するために必須の基本的ツールであるだけなく、GPS衛星を活用した高精度な位置測定精度実現など現代人の生活を支えるなくてはならない学問である。一方で学習が進むにつれて伴う煩雑な計算から、習得困難な学問として未だ敬遠されがちであるようだ。相対論は、幾つかの基本原理を元に理論体系が構築されており、道筋を一から辿れば誰でも理解できる学問である。本講義では、まず光速度不変の原理と特殊相対性原理を元に光時計を用いた仮想的実験から特殊相対論におけるローレンツ変換の公式を出来るかぎり図をたよりに導出する。次に等価原理と一般相対性原理から重力場中の物理がどのように記述できるのか出来るかぎり図を用いて直感に訴える形で示す。強い重力場を伴う白色矮星などのコンパクト星やブラックホール、重力レンズ現象や宇宙論の基礎等、物理を学ぶ学生が最低限理解しておくべき応用例を紹介する。
Relativity plays the central role not only to describe our universe but also to support our life. In this lecture, fundamentals of the relativity, especially the general relativity are lectured.
Google Classroomのクラスコードは工学部Webページにて確認すること。
学部シラバス・時間割 (https://www.eng.tohoku.ac.jp/edu/syllabus-ug.html)
1. 目的
鋼・コンクリート・地盤など，土木工学で対象とする材料の力学挙動の評価には連続体モデルが用いられることが多い．この授業では，材料の変形や応力に関する基本事項と，連続体モデルのうち最も基礎となる弾性体モデルについて学ぶ．
2. 概要
2次元や3次元的な広がりをもつ材料におけるひずみや応力の定義と数学的とり扱い方，弾性体のひずみと応力の関係式とその材料パラメータ，及びこれらにつり合い方程式を加えた境界値問題が主な内容である．
3. 達成目標：
この授業では，主として以下の事項を達成することを目標とする．
1) 応力やひずみなどの力学諸量の定義と性質を理解し，その数学的取り扱い方法を習得する．
2) 材料の力学的挙動をモデル化する数学的プロセスを理解し，それを適切に応用できる．
3) 弾性体の力学挙動に関する支配方程式系について理解し，これを簡単な問題の解析に応用できる．
The class code for Google Classroom can be found on the Web site of
the School of Engineering:
https://www.eng.tohoku.ac.jp/edu/syllabus-ug.html (JP Only)
1. Objectives
This course provides the theory of elasticity, which is the most important and fundamental theory in continuum mechanics and is used as an inevitable tool in evaluating the mechanical behavior of materials, such as soil, rock, concrete, and steel, in civil engineering.
2. Overview
The main contents are the definition and mathematical treatment of strain and stress in materials, the equations relating strain and stress in elastic bodies and their material parameters, and equilibrium equations to define boundary value problems.
3. Goal of Study
This course aims for students:
1) to understand the definitions and properties of mechanical variables such as stress and strain and to master their mathematical treatments;
2) to understand the mathematical process of modeling mechanical behavior of materials and to become able to use them correctly;
3) to master the governing equations related to the mechanical behavior of elastic materials and to become able to apply them to simple analysis of mechanical problems.
この集中講義の主題は、「ラプラシアンの第1固有値を最大化する計量はユークリッド空間へのよい等長埋め込みをもつ」という命題である。
コンパクト多様体において、体積1のリーマン計量をすべて動かしてラプラシアンの第1固有値を最大化する問題（問題A）、およびリーマン計量と体積要素の対（滑らかな測度距離構造）に対する類似の問題（問題B）を考える。問題Aについて、これまでに知られている結果を概観し、とくに、閉曲面上の最大化計量が球面内の極小曲面の誘導計量として実現できるというNadirashviliの定理について詳しく解説する。次に、問題Bについて、リーマン多様体の等長はめ込みとの関係を解説し、Nadirashviliの定理の類似を定式化して証明する。この定理は、問題Bが解けると、よい等長はめ込みが得られることを主張する。
有限グラフにおいても問題A, Bと類似の問題を定式化することができ、多様体の場合と比較検討する。
The theme of this intensive course is the proposition that ``a metric that maximizes the first eigenvalue of the Laplacian admits a good isometric embedding into a Euclidean space.''
On a compact manifold, we consider the problem of maximizing the first eigenvalue of the Laplacian over all Riemannian metrics of volume 1 (Problem A), and a analogous problem for a pair of Riemannian metric and volume element (smooth metric-measure structure) (Problem B). Regarding Problem A, I will overview the known results, and in particular I will explain in detail Nadirashvili's theorem, which states that a maximizing metric on a closed surface can be realized as the induced metric on a minimal surface in a round sphere. Regarding Problem B, I will explain the relationship with isometric immersions of Riemannian manifolds, and formulate and prove an analogy of Nadirashvili's theorem. This theorem asserts that if Problem B is solved, a good isometric immersion is obtained.
It is possible to formulate problems similar to Problems A and B for finite graphs, and I will compare them with the problems on manifolds.