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場の量子論は自然界の記述に大きな成功を収めてきた物理学の理論的枠組みであるが，その厳密な数学的定式化は完成しておらず，従って場の量子論を直接数学として研究することには困難である．しかし，近年摂動的な場の量子論を数学的に定式化することについては一定の数学的枠組みが整備されてきており，完全とは言えないまでも，4次元やさらに高次元の量子場の理論やその双対性，さらにはその量子補正の計算や繰り込みなどの理解も数学の範疇で行うことが可能になってきた．本講義ではこれらの発展について議論する．理論体系が完全に完成しているわけではないので完全に厳密に定式化すること自体を目指すのではなく，そのための基本的なアイデアや道具立て，物理学からの動機や知見などを説明することに主眼を置くが，数学科専攻の学生にも十分配慮して講義を進める予定である．
Quantum field theory is a theoretical framework in physics that has been successful in describing Nature.
We have not yet arrived at a completely rigorous mathematical formulation of quantum field theories,
and hence it has been challenging to study quantum field theories themselves directly as a mathematical subject.
In recent years, however, we have been making progress in coming up with a framework to mathematically formulate perturbative quantum field theories.
Such a framework, while still incomplete, makes it possible to study quantum field theories in four (and higher) spacetime dimensions, and computations/understanding of quantum corrections and renormalizations therein. The goal of these lectures is to describe some of these developments.
Since the theory is not completely established, we will not necessarily aim to formulate everything rigorously; rather I will highlight
basic main ideas and setups, and physics motivations as well as insights. Most of the lectures should be understandable to graduate students in mathematics.
場の量子論は自然界の記述に大きな成功を収めてきた物理学の理論的枠組みであるが，その厳密な数学的定式化は完成しておらず，従って場の量子論を直接数学として研究することには困難である．しかし，近年摂動的な場の量子論を数学的に定式化することについては一定の数学的枠組みが整備されてきており，完全とは言えないまでも，4次元やさらに高次元の量子場の理論やその双対性，さらにはその量子補正の計算や繰り込みなどの理解も数学の範疇で行うことが可能になってきた．本講義ではこれらの発展について議論する．理論体系が完全に完成しているわけではないので完全に厳密に定式化すること自体を目指すのではなく，そのための基本的なアイデアや道具立て，物理学からの動機や知見などを説明することに主眼を置くが，数学科専攻の学生にも十分配慮して講義を進める予定である．
Quantum field theory is a theoretical framework in physics that has been successful in describing Nature.
We have not yet arrived at a completely rigorous mathematical formulation of quantum field theories,
and hence it has been challenging to study quantum field theories themselves directly as a mathematical subject.
In recent years, however, we have been making progress in coming up with a framework to mathematically formulate perturbative quantum field theories.
Such a framework, while still incomplete, makes it possible to study quantum field theories in four (and higher) spacetime dimensions, and computations/understanding of quantum corrections and renormalizations therein. The goal of these lectures is to describe some of these developments.
Since the theory is not completely established, we will not necessarily aim to formulate everything rigorously; rather I will highlight
basic main ideas and setups, and physics motivations as well as insights. Most of the lectures should be understandable to graduate students in mathematics.
弦理論はあらゆる素粒子とその相互作用を統一する究極の統一理論の候補と
考えられている理論であるが、1990年代後半に起こった弦理論の第二革命以来、
場の量子論との深淵な関係が様々な形で見出され、注目されている。
例えば、弦理論は、QCDに代表されるような強結合の場の量子論に対する
思いがけない解析法を提供するなど、場の量子論の性質を理解する上で
大変有用な枠組みを与える。また、ある状況において弦理論と場の量子論が
理論的に等価になることが予想されており、量子重力理論を場の量子論を用いて
定式化する試みもなされている。本講義の主な目的は、そうした発展を
理解する上で必要な基礎知識を学び、場の量子論と弦理論の双方への理解を
深めることにある。まず、弦の量子化の手続きの概要を紹介し、
タイプII超弦理論の低エネルギーにどのような粒子が現れるのかを説明する。
特に開弦の自由度を考えることにより、Dブレインと呼ばれる物体の上に
ゲージ理論が実現されることを見る。そして、いろいろな種類のDブレイン
を組み合わせることによって、様々なゲージ理論を弦理論の枠内に実現する
方法を解説する。そのような系に対して、弦理論において知られている双対性
を適用することによって、場の量子論に関する新たな知見が得られるという
ことをいくつかの具体例を用いながら議論する。
String theory is a candidate for the ultimate unified theory that
unifies all elementary particles and their interactions.
However, since the second revolution of string theory started
in the late 1990s, its profound relationship with quantum field
theory has been discovered in various ways and has attracted
much attention.
For example, string theory provides a very useful framework for
understanding the properties of quantum field theory, which leads
to some unorthodox analytical methods to analyze strongly coupled
quantum field theory such as QCD. Under certain circumstances,
quantum field theory is conjectured to be equivalent to string theory.
Based on this conjecture, attempts have been made to formulate quantum
gravity using quantum field theory.
The main purpose of this lecture is to provide students with the basic
knowledge necessary to understand such developments and to deepen
the understanding of both quantum field theory and string theory.
We start with an overview of string quantization procedures and
explain the low energy field contents in type II superstring theory.
In particular, by considering the open string degrees of freedom,
we will show that gauge theories can be realized on an object
called D-branes. We will then explain how to realize various gauge
theories within the framework of string theory by combining various
types of D-branes. Some new insights into the quantum field theory
gained by applying known dualities in string theory will be discussed.
素粒子原子核物理学、及び物性物理学の深い理解に不可欠である場の量子論の基礎的事項を講義する。
正準量子化による場の量子化を行ない、超伝導現象の記述、相対論的場の量子化、ファインマン・ルールの導出などを扱う。
The lecture will deal with the fundamental aspects of quantum field theory, which are essential for a deep understanding of particle, nuclear, and condensed matter physics.
We will introduce quantum field theory using canonical quantization, by which subjects such as description of superconducting phenomena, quantization of relativistic fields, and derivation of Feynman rules will be discussed.
場の量子論は自然界の記述に大きな成功を収めてきた物理学の理論的枠組みであるが，その厳密な数学的定式化は完成しておらず，従って場の量子論を直接数学として研究することには困難である．しかし，近年摂動的な場の量子論を数学的に定式化することについては一定の数学的枠組みが整備されてきており，完全とは言えないまでも，4次元やさらに高次元の量子場の理論やその双対性，さらにはその量子補正の計算や繰り込みなどの理解も数学の範疇で行うことが可能になってきた．本講義ではこれらの発展について議論する．理論体系が完全に完成しているわけではないので完全に厳密に定式化すること自体を目指すのではなく，そのための基本的なアイデアや道具立て，物理学からの動機や知見などを説明することに主眼を置くが，数学科専攻の学生にも十分配慮して講義を進める予定である．
Quantum field theory is a theoretical framework in physics that has been successful in describing Nature.
We have not yet arrived at a completely rigorous mathematical formulation of quantum field theories,
and hence it has been challenging to study quantum field theories themselves directly as a mathematical subject.
In recent years, however, we have been making progress in coming up with a framework to mathematically formulate perturbative quantum field theories.
Such a framework, while still incomplete, makes it possible to study quantum field theories in four (and higher) spacetime dimensions, and computations/understanding of quantum corrections and renormalizations therein. The goal of these lectures is to describe some of these developments.
Since the theory is not completely established, we will not necessarily aim to formulate everything rigorously; rather I will highlight
basic main ideas and setups, and physics motivations as well as insights. Most of the lectures should be understandable to graduate students in mathematics.
弦理論はあらゆる素粒子とその相互作用を統一する究極の統一理論の候補と
考えられている理論であるが、1990年代後半に起こった弦理論の第二革命以来、
場の量子論との深淵な関係が様々な形で見出され、注目されている。
例えば、弦理論は、QCDに代表されるような強結合の場の量子論に対する
思いがけない解析法を提供するなど、場の量子論の性質を理解する上で
大変有用な枠組みを与える。また、ある状況において弦理論と場の量子論が
理論的に等価になることが予想されており、量子重力理論を場の量子論を用いて
定式化する試みもなされている。本講義の主な目的は、そうした発展を
理解する上で必要な基礎知識を学び、場の量子論と弦理論の双方への理解を
深めることにある。まず、弦の量子化の手続きの概要を紹介し、
タイプII超弦理論の低エネルギーにどのような粒子が現れるのかを説明する。
特に開弦の自由度を考えることにより、Dブレインと呼ばれる物体の上に
ゲージ理論が実現されることを見る。そして、いろいろな種類のDブレイン
を組み合わせることによって、様々なゲージ理論を弦理論の枠内に実現する
方法を解説する。そのような系に対して、弦理論において知られている双対性
を適用することによって、場の量子論に関する新たな知見が得られるという
ことをいくつかの具体例を用いながら議論する。
String theory is a candidate for the ultimate unified theory that
unifies all elementary particles and their interactions.
However, since the second revolution of string theory started
in the late 1990s, its profound relationship with quantum field
theory has been discovered in various ways and has attracted
much attention.
For example, string theory provides a very useful framework for
understanding the properties of quantum field theory, which leads
to some unorthodox analytical methods to analyze strongly coupled
quantum field theory such as QCD. Under certain circumstances,
quantum field theory is conjectured to be equivalent to string theory.
Based on this conjecture, attempts have been made to formulate quantum
gravity using quantum field theory.
The main purpose of this lecture is to provide students with the basic
knowledge necessary to understand such developments and to deepen
the understanding of both quantum field theory and string theory.
We start with an overview of string quantization procedures and
explain the low energy field contents in type II superstring theory.
In particular, by considering the open string degrees of freedom,
we will show that gauge theories can be realized on an object
called D-branes. We will then explain how to realize various gauge
theories within the framework of string theory by combining various
types of D-branes. Some new insights into the quantum field theory
gained by applying known dualities in string theory will be discussed.
非相対論的量子力学の復習後、相対論的な運動をする粒子に対する量子力学を構成する。特に電子が従うディラック方程式などについて深く考察する。前半ではディラック方程式を波動関数の方程式として考え、その成功と問題点を見る。後半では場の量子化の概念を導入し、場の量子論への入門的事項を学ぶ。
After reviewing the non-relativistic quantum mechanics, I will construct the quantum mechanics describing a particle with relativistic motion. A particular emphasis is given to the Dirac equation describing the motion of electrons. In the first half of the lectures, I describe the Dirac equation as an equation for wave functions,and see its success and failure. In the second half of the lectures,the notion of quantization of fields is explained as an introduction to quantum field theory.
現在知られている限り、最もミクロな世界の物理を正しく記述するのが素粒子標準理論である。素粒子標準理論は場の量子論の一種であり、ゲージ対称性とそれに伴うゲージ相互作用（電磁相互作用、弱い相互作用、強い相互作用）が本質的な役割を果たす。本講義では素粒子標準理論を理解することを目標とする。時間があればその拡張についても触れる。
The most microscopic theory that correctly describes the real world is the so-called Standard Model. The Standard Model is a class of quantum field theory, and gauge interactions (electromagnetic interaction, weak interaction, strong interaction) play important roles. I will review the basics of the Standard Model and its possible extensions.