前期集中 その他 連講. 単位数/Credit(s): 2. 担当教員/Instructor : 理学部非常勤講師. 学期/Semester: 前期集中. 開講年度/Year: 2024. 科目ナンバリング/Course code/number: SMA-MAT551J. 使用言語/Language Used in Course: 日本語.
東京大学
場の量子論の数理
Mathematics and Physics of Quantum Field Theories
場の量子論は自然界の記述に大きな成功を収めてきた物理学の理論的枠組みであるが，その厳密な数学的定式化は完成しておらず，従って場の量子論を直接数学として研究することには困難である．しかし，近年摂動的な場の量子論を数学的に定式化することについては一定の数学的枠組みが整備されてきており，完全とは言えないまでも，4次元やさらに高次元の量子場の理論やその双対性，さらにはその量子補正の計算や繰り込みなどの理解も数学の範疇で行うことが可能になってきた．本講義ではこれらの発展について議論する．理論体系が完全に完成しているわけではないので完全に厳密に定式化すること自体を目指すのではなく，そのための基本的なアイデアや道具立て，物理学からの動機や知見などを説明することに主眼を置くが，数学科専攻の学生にも十分配慮して講義を進める予定である．
Quantum field theory is a theoretical framework in physics that has been successful in describing Nature.
We have not yet arrived at a completely rigorous mathematical formulation of quantum field theories,
and hence it has been challenging to study quantum field theories themselves directly as a mathematical subject.
In recent years, however, we have been making progress in coming up with a framework to mathematically formulate perturbative quantum field theories.
Such a framework, while still incomplete, makes it possible to study quantum field theories in four (and higher) spacetime dimensions, and computations/understanding of quantum corrections and renormalizations therein. The goal of these lectures is to describe some of these developments.
Since the theory is not completely established, we will not necessarily aim to formulate everything rigorously; rather I will highlight
basic main ideas and setups, and physics motivations as well as insights. Most of the lectures should be understandable to graduate students in mathematics.
場の量子論を数学的に取り扱うための基礎的な枠組みの一つに触れ，基本的な定義やその意味を理解する．
To familiarize oneself with a framework for mathematical formulation of quantum field theories, and to understand some basic definitions and their significance.
授業内容の詳細については現在検討中であるので追って連絡する．ただし，少なくとも因子化代数とそれを用いた場の量子論の定式化には触れる．
Contents and progress schedule of the class: Detailed contents of the lectures will be announced later. We will at least discuss factorization algebras and
formulations of quantum theories via factorization algebras.
レポートにより評価する．講義中に問題の例を示す予定であるが，講義に関連した内容であれば個々人の興味に応じた課題を自主的に設定することも可能とする．
Grades will be based on reports (term papers). I am planning to indicate some examples of possible problems during the lecture. In addition, you can choose any topic of your interest as long as they are reasonably related to the contents of the lectures.
教科書は指定しないが，参考文献としては例えば "Factorization Algebras in Quantum Field Theory: Volume 1 & 2 " (Kevin Costello, Owen Gwilliam); "Gauge Theory and Integrability, I" (Kevin Costello, Edward Witten and Masahito Yamazaki), ICCM Not. 6, 46–191 (2018), arXiv:1709.09993 [hep-th]
No textbooks specified. For possible references, please see "Factorization Algebras in Quantum Field Theory: Volume 1 & 2 " (Kevin Costello, Owen Gwilliam); "Gauge Theory and Integrability, I" (Kevin Costello, Edward Witten and Masahito Yamazaki), ICCM Not. 6, 46–191 (2018), arXiv:1709.09993 [hep-th]
特に必要ではないが予習復習は有用である．
No requirements. Studies befoe/after the lectures will be useful.