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ランダム行列理論は成分がランダムな行列を研究し、Wigner, Marchenko, PasturやDysonなどの核物理学者によって基本的な研究がされ、数学・物理・工学に広く応用されている。確率論の大数の法則・中心極限定理は、ランダム行列理論ではどのような形を取るであろうか。我々は、物理学者が研究してきた行列の代表的な様式に対して、行列のサイズの極限における、行列の固有値分布、最大(最小)固有値の場所、最大固有値の変動、これら各々の確率分布を理解することを最初の目的とする。ところでランダム行列は、多変数統計学における標本共分散行列・標本相関行列としても現れる。この観点で近年Bai, Fan, Jiangなどがランダム行列理論を大規模高次元データの統計学に応用している。データの典型的な生成メカニズムに対して、データ行列の行数(データの次元)と列数(サンプルのサイズ)の典型的な関係を保った極限において、標本共分散行列・標本相関行列の固有値分布、最大(最小)固有値の場所、最大固有値の変動、これら各々の確率分布を理解することを次の目的とする。大規模データの統計学において、標本相関行列次元を用いてデータの次元を削減する。大規模データの近年の膾炙に伴い、削減する次元の目安が活発に提案されている。その目安の振る舞いをランダム行列理論で解明し、時系列解析への関連を展望する。
Random matrix theory studies matrices whose elements are random, and was initiated and studied by nuclear physicists Wigner, Dyson, Marchenko, and Pastur. Since then, deep research has been studied across mathematics, physics, and engineering. Does random matrix theory have any counterparts to the Law of Large Numbers and the Central Limit Theorem of the probability theory? For matrices physicists have extensively studied, in the limit of matrix sizes, we will understand the distributions of eigenvalues, the locations of the maximum (minimum) eigenvalues, the fluctuation distributions of the maximum eigenvalues. Random matrices also appear as sample covariance matrices and sample correlation matrices in multivariate statistics. Recently, Bai, Fan, and Jiang have applied the theory of random matrices to the statistics of large-scale high-dimensional data. For typical generation mechanisms (Factor model,...) of data, we will understand the distributions of eigenvalues of sample covariance matrices and sample correlation matrices, the locations of the maximum (minimum) eigenvalues, the fluctuation distributions of the maximum eigenvalues, in the limit of the number of rows (the dimension of the data) and the number of columns (the size of the sample). In the statistics of large-scale data, we often reduce the dimension of data. The criteria on the reduced dimensions are now actively proposed and studied, because of recent big data. We elucidate the behavior of typical dimension reduction criteria and to explore their relevance to time series analysis.
ランダム行列理論は成分がランダムな行列を研究し、Wigner, Marchenko, PasturやDysonなどの核物理学者によって基本的な研究がされ、数学・物理・工学に広く応用されている。確率論の大数の法則・中心極限定理は、ランダム行列理論ではどのような形を取るであろうか。我々は、物理学者が研究してきた行列の代表的な様式に対して、行列のサイズの極限における、行列の固有値分布、最大(最小)固有値の場所、最大固有値の変動、これら各々の確率分布を理解することを最初の目的とする。ところでランダム行列は、多変数統計学における標本共分散行列・標本相関行列としても現れる。この観点で近年Bai, Fan, Jiangなどがランダム行列理論を大規模高次元データの統計学に応用している。データの典型的な生成メカニズムに対して、データ行列の行数(データの次元)と列数(サンプルのサイズ)の典型的な関係を保った極限において、標本共分散行列・標本相関行列の固有値分布、最大(最小)固有値の場所、最大固有値の変動、これら各々の確率分布を理解することを次の目的とする。大規模データの統計学において、標本相関行列次元を用いてデータの次元を削減する。大規模データの近年の膾炙に伴い、削減する次元の目安が活発に提案されている。その目安の振る舞いをランダム行列理論で解明し、時系列解析への関連を展望する。
Random matrix theory studies matrices whose elements are random, and was initiated and studied by nuclear physicists Wigner, Dyson, Marchenko, and Pastur. Since then, deep research has been studied across mathematics, physics, and engineering. Does random matrix theory have any counterparts to the Law of Large Numbers and the Central Limit Theorem of the probability theory? For matrices physicists have extensively studied, in the limit of matrix sizes, we will understand the distributions of eigenvalues, the locations of the maximum (minimum) eigenvalues, the fluctuation distributions of the maximum eigenvalues. Random matrices also appear as sample covariance matrices and sample correlation matrices in multivariate statistics. Recently, Bai, Fan, and Jiang have applied the theory of random matrices to the statistics of large-scale high-dimensional data. For typical generation mechanisms (Factor model,...) of data, we will understand the distributions of eigenvalues of sample covariance matrices and sample correlation matrices, the locations of the maximum (minimum) eigenvalues, the fluctuation distributions of the maximum eigenvalues, in the limit of the number of rows (the dimension of the data) and the number of columns (the size of the sample). In the statistics of large-scale data, we often reduce the dimension of data. The criteria on the reduced dimensions are now actively proposed and studied, because of recent big data. We elucidate the behavior of typical dimension reduction criteria and to explore their relevance to time series analysis.
ランダム行列理論は成分がランダムな行列を研究し、Wigner, Marchenko, PasturやDysonなどの核物理学者によって基本的な研究がされ、数学・物理・工学に広く応用されている。確率論の大数の法則・中心極限定理は、ランダム行列理論ではどのような形を取るであろうか。我々は、物理学者が研究してきた行列の代表的な様式に対して、行列のサイズの極限における、行列の固有値分布、最大(最小)固有値の場所、最大固有値の変動、これら各々の確率分布を理解することを最初の目的とする。ところでランダム行列は、多変数統計学における標本共分散行列・標本相関行列としても現れる。この観点で近年Bai, Fan, Jiangなどがランダム行列理論を大規模高次元データの統計学に応用している。データの典型的な生成メカニズムに対して、データ行列の行数(データの次元)と列数(サンプルのサイズ)の典型的な関係を保った極限において、標本共分散行列・標本相関行列の固有値分布、最大(最小)固有値の場所、最大固有値の変動、これら各々の確率分布を理解することを次の目的とする。大規模データの統計学において、標本相関行列次元を用いてデータの次元を削減する。大規模データの近年の膾炙に伴い、削減する次元の目安が活発に提案されている。その目安の振る舞いをランダム行列理論で解明し、時系列解析への関連を展望する。
Random matrix theory studies matrices whose elements are random, and was initiated and studied by nuclear physicists Wigner, Dyson, Marchenko, and Pastur. Since then, deep research has been studied across mathematics, physics, and engineering. Does random matrix theory have any counterparts to the Law of Large Numbers and the Central Limit Theorem of the probability theory? For matrices physicists have extensively studied, in the limit of matrix sizes, we will understand the distributions of eigenvalues, the locations of the maximum (minimum) eigenvalues, the fluctuation distributions of the maximum eigenvalues. Random matrices also appear as sample covariance matrices and sample correlation matrices in multivariate statistics. Recently, Bai, Fan, and Jiang have applied the theory of random matrices to the statistics of large-scale high-dimensional data. For typical generation mechanisms (Factor model,...) of data, we will understand the distributions of eigenvalues of sample covariance matrices and sample correlation matrices, the locations of the maximum (minimum) eigenvalues, the fluctuation distributions of the maximum eigenvalues, in the limit of the number of rows (the dimension of the data) and the number of columns (the size of the sample). In the statistics of large-scale data, we often reduce the dimension of data. The criteria on the reduced dimensions are now actively proposed and studied, because of recent big data. We elucidate the behavior of typical dimension reduction criteria and to explore their relevance to time series analysis.
さまざまな分野で必要とされるデータ解析の数理的基礎を担うのが確率と統計である。この講義では、確率変数とその期待値・分散などの確率の基礎概念から始めて、統計学に必要な確率分布について学ぶ。次いで、統計的推論の考え方を理解して、母数の点推定・区間推定の方法、仮説検定の基本的な形式を学ぶ。
Probability and statistics provide the mathematical foundation of data analysis in various fields. This course will start with random variables, expected values, variances and other fundamental concepts in probability and introduce probability distributions used in statistics. Then the course will provide methods of point and interval estimations of population parameters and of testing hypothesis as an introduction to statistical inference.
"さまざまな分野で必要とされるデータ解析の数理的基礎を担うのが確率と統計である。この講義では、確率変数とその期待値・分散などの確率の基礎概念から始めて、統計学に必要な確率分布について学ぶ。次いで、統計的推論の考え方を理解して、母数の点推定・区間推定の方法、仮説検定の基本的な形式について概観する。またこれらの内容の理解に必要となる数学的話題（広義積分、行列など）についても適宜扱う.
Probability and statistics provide the mathematical foundation of data analysis in various fields. This course will start with random variables, expected values, variances and other fundamental concepts in probability and introduce probability distributions used in statistics. Then the course will provide the outline of point and interval estimations of population parameters and of testing hypothesis as an introduction to statistical inference. Moreover, relevant mathematical topics will be also treated accordingly."
線形代数学Aに引き続き、ベクトル空間の基底、次元、固有値、内積、行列の標準化などを扱い、
基礎的な計算力を身につけつつ線形代数学の初歩を学ぶ。
This course is a continuation of Linear Algebra, A. It covers the general notion of vector spaces and related notions such as basis, dimension, inner products, eigenvalues, and normal forms of matrices. Students will learn computational techniques along the way.
さまざまな分野で必要とされるデータ解析の数理的基礎を担うのが確率と統計である。この講義では、確率変数とその期待値・分散などの確率の基礎概念から始めて、統計学に必要な確率分布について学ぶ。次いで、統計的推論の考え方を理解して、母数の点推定・区間推定の方法、仮説検定の基本的な形式を学ぶ。
Probability and statistics provide the mathematical foundation of data analysis in various fields. This course will start with random variables, expected values, variances and other fundamental concepts in probability and introduce probability distributions used in statistics. Then the course will provide methods of point and interval estimations of population parameters and of testing hypothesis as an introduction to statistical inference.
さまざまな分野で必要とされるデータ解析の数理的基礎を担うのが確率と統計である。この講義では、確率変数とその期待値・分散などの確率の基礎概念から始めて、統計学に必要な確率分布について学ぶ。次いで、統計的推論の考え方を理解して、母数の点推定・区間推定の方法、仮説検定の基本的な形式を学ぶ。
Probability and statistics provide the mathematical foundation of data analysis in various fields. This course will start with random variables, expected values, variances and other fundamental concepts in probability and introduce probability distributions used in statistics. Then the course will provide methods of point and interval estimations of population parameters and of testing hypothesis as an introduction to statistical inference.
さまざまな分野で必要とされるデータ解析の数理的基礎を担うのが確率と統計である。この講義では、確率変数とその期待値・分散などの確率の基礎概念から始めて、統計学に必要な確率分布について学ぶ。次いで、統計的推論の考え方を理解して、母数の点推定・区間推定の方法、仮説検定の基本的な形式について概観する。またこれらの内容の理解に必要となる数学的話題（広義積分、行列など）についても適宜扱う.
Probability and statistics provide the mathematical foundation of data analysis in various fields. This course will start with random variables, expected values, variances and other fundamental concepts in probability and introduce probability distributions used in statistics. Then the course will provide the outline of point and interval estimations of population parameters and of testing hypothesis as an introduction to statistical inference. Moreover, relevant mathematical topics will be also treated accordingly.
さまざまな分野で必要とされるデータ解析の数理的基礎を担うのが確率と統計である。この講義では、確率変数とその期待値・分散などの確率の基礎概念から始めて、統計学に必要な確率分布について学ぶ。次いで、統計的推論の考え方を理解して、母数の点推定・区間推定の方法、仮説検定の基本的な形式を学ぶ。
Probability and statistics provide the mathematical foundation of data analysis in various fields. This course will start with random variables, expected values, variances and other fundamental concepts in probability and introduce probability distributions used in statistics. Then the course will provide methods of point and interval estimations of population parameters and of testing hypothesis as an introduction to statistical inference.