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ケーラー時空の多重ポテンシャル論（満渕測地光線論）への入門を目的とする。談話会にてケーラー多様体上の幾何学流（ファノ多様体上のケーラー・リッチ・フローなど）の極限挙動解析の現状について話し、この理論への動機づけとする。
The purpose of this lecture is to learn pluripotential theory of Kahlerian spacetime (Mabuchi geodesic ray theory). In the talk before the lecrture, I will explain some results on time limit behavior of geometric flows on Kahler manifold (e.g. Kahler-Rich flow on Fano manifold), which motivates the subject of this lecture.
ケーラー時空の多重ポテンシャル論（満渕測地光線論）への入門を目的とする。談話会にてケーラー多様体上の幾何学流（ファノ多様体上のケーラー・リッチ・フローなど）の極限挙動解析の現状について話し、この理論への動機づけとする。
The purpose of this lecture is to learn pluripotential theory of Kahlerian spacetime (Mabuchi geodesic ray theory). In the talk before the lecrture, I will explain some results on time limit behavior of geometric flows on Kahler manifold (e.g. Kahler-Rich flow on Fano manifold), which motivates the subject of this lecture.
ケーラー時空の多重ポテンシャル論（満渕測地光線論）への入門を目的とする。談話会にてケーラー多様体上の幾何学流（ファノ多様体上のケーラー・リッチ・フローなど）の極限挙動解析の現状について話し、この理論への動機づけとする。
The purpose of this lecture is to learn pluripotential theory of Kahlerian spacetime (Mabuchi geodesic ray theory). In the talk before the lecrture, I will explain some results on time limit behavior of geometric flows on Kahler manifold (e.g. Kahler-Rich flow on Fano manifold), which motivates the subject of this lecture.
この集中講義の主題は、「ラプラシアンの第1固有値を最大化する計量はユークリッド空間へのよい等長埋め込みをもつ」という命題である。
コンパクト多様体において、体積1のリーマン計量をすべて動かしてラプラシアンの第1固有値を最大化する問題（問題A）、およびリーマン計量と体積要素の対（滑らかな測度距離構造）に対する類似の問題（問題B）を考える。問題Aについて、これまでに知られている結果を概観し、とくに、閉曲面上の最大化計量が球面内の極小曲面の誘導計量として実現できるというNadirashviliの定理について詳しく解説する。次に、問題Bについて、リーマン多様体の等長はめ込みとの関係を解説し、Nadirashviliの定理の類似を定式化して証明する。この定理は、問題Bが解けると、よい等長はめ込みが得られることを主張する。
有限グラフにおいても問題A, Bと類似の問題を定式化することができ、多様体の場合と比較検討する。
The theme of this intensive course is the proposition that ``a metric that maximizes the first eigenvalue of the Laplacian admits a good isometric embedding into a Euclidean space.''
On a compact manifold, we consider the problem of maximizing the first eigenvalue of the Laplacian over all Riemannian metrics of volume 1 (Problem A), and a analogous problem for a pair of Riemannian metric and volume element (smooth metric-measure structure) (Problem B). Regarding Problem A, I will overview the known results, and in particular I will explain in detail Nadirashvili's theorem, which states that a maximizing metric on a closed surface can be realized as the induced metric on a minimal surface in a round sphere. Regarding Problem B, I will explain the relationship with isometric immersions of Riemannian manifolds, and formulate and prove an analogy of Nadirashvili's theorem. This theorem asserts that if Problem B is solved, a good isometric immersion is obtained.
It is possible to formulate problems similar to Problems A and B for finite graphs, and I will compare them with the problems on manifolds.
この集中講義の主題は、「ラプラシアンの第1固有値を最大化する計量はユークリッド空間へのよい等長埋め込みをもつ」という命題である。
コンパクト多様体において、体積1のリーマン計量をすべて動かしてラプラシアンの第1固有値を最大化する問題（問題A）、およびリーマン計量と体積要素の対（滑らかな測度距離構造）に対する類似の問題（問題B）を考える。問題Aについて、これまでに知られている結果を概観し、とくに、閉曲面上の最大化計量が球面内の極小曲面の誘導計量として実現できるというNadirashviliの定理について詳しく解説する。次に、問題Bについて、リーマン多様体の等長はめ込みとの関係を解説し、Nadirashviliの定理の類似を定式化して証明する。この定理は、問題Bが解けると、よい等長はめ込みが得られることを主張する。
有限グラフにおいても問題A, Bと類似の問題を定式化することができ、多様体の場合と比較検討する。
The theme of this intensive course is the proposition that ``a metric that maximizes the first eigenvalue of the Laplacian admits a good isometric embedding into a Euclidean space.''
On a compact manifold, we consider the problem of maximizing the first eigenvalue of the Laplacian over all Riemannian metrics of volume 1 (Problem A), and a analogous problem for a pair of Riemannian metric and volume element (smooth metric-measure structure) (Problem B). Regarding Problem A, I will overview the known results, and in particular I will explain in detail Nadirashvili's theorem, which states that a maximizing metric on a closed surface can be realized as the induced metric on a minimal surface in a round sphere. Regarding Problem B, I will explain the relationship with isometric immersions of Riemannian manifolds, and formulate and prove an analogy of Nadirashvili's theorem. This theorem asserts that if Problem B is solved, a good isometric immersion is obtained.
It is possible to formulate problems similar to Problems A and B for finite graphs, and I will compare them with the problems on manifolds.
この集中講義の主題は、「ラプラシアンの第1固有値を最大化する計量はユークリッド空間へのよい等長埋め込みをもつ」という命題である。
コンパクト多様体において、体積1のリーマン計量をすべて動かしてラプラシアンの第1固有値を最大化する問題（問題A）、およびリーマン計量と体積要素の対（滑らかな測度距離構造）に対する類似の問題（問題B）を考える。問題Aについて、これまでに知られている結果を概観し、とくに、閉曲面上の最大化計量が球面内の極小曲面の誘導計量として実現できるというNadirashviliの定理について詳しく解説する。次に、問題Bについて、リーマン多様体の等長はめ込みとの関係を解説し、Nadirashviliの定理の類似を定式化して証明する。この定理は、問題Bが解けると、よい等長はめ込みが得られることを主張する。
有限グラフにおいても問題A, Bと類似の問題を定式化することができ、多様体の場合と比較検討する。
The theme of this intensive course is the proposition that ``a metric that maximizes the first eigenvalue of the Laplacian admits a good isometric embedding into a Euclidean space.''
On a compact manifold, we consider the problem of maximizing the first eigenvalue of the Laplacian over all Riemannian metrics of volume 1 (Problem A), and a analogous problem for a pair of Riemannian metric and volume element (smooth metric-measure structure) (Problem B). Regarding Problem A, I will overview the known results, and in particular I will explain in detail Nadirashvili's theorem, which states that a maximizing metric on a closed surface can be realized as the induced metric on a minimal surface in a round sphere. Regarding Problem B, I will explain the relationship with isometric immersions of Riemannian manifolds, and formulate and prove an analogy of Nadirashvili's theorem. This theorem asserts that if Problem B is solved, a good isometric immersion is obtained.
It is possible to formulate problems similar to Problems A and B for finite graphs, and I will compare them with the problems on manifolds.
代数幾何学の入門的講義を行う。体上の有限型代数の基礎事項から出発し，アフィン代数多様体について講じる．また、それらの貼り合わせとして代数多様体の概念を定義する．例として、トーリック多様体についても触れる。
This course will provide introductory lectures on algebraic geometry. We will start with basics on algebras of finite type over a field, and we will give lectures on affine algebraic varieties. Further, we will define the notion of algebraic varieties by patching. As examples of algebraic varieties, we will talk about toric varieties.
ハンガリーの数学者パウロ・エルドスは、神が数学的定理の最も美しい証明を保持する「本」について話していました。エルドスの最高の賞賛は、誰かから定理の新しい証明を学んだとき、「それは本からのものです」でした。このセミナーでは、数論から幾何学、組合せ論、グラフ理論、そしてエルドスのお気に入りの結果のいくつかを含む、数学のエレガントな結果と証明のコレクションを調査します。また、結果の歴史の一部と関係する数学者についても議論します。セミナーのメインテキストは、アイグナーとジーグラーによる「本からの証明」です。学生は毎週短い読書や問題セットを行い、プレゼンテーションを行います。The Hungarian mathematician Paul Erdos used to talk about “The Book,” in which God keeps the most beautiful proofs for mathematical theorems. Erdos’ highest praise, upon learning from someone a new proof of a theorem, was “That’s one from the book.” In this seminar we will survey a collection of elegant results and proofs in mathematics, ranging in topic from number theory to geometry to combinatorics and graph theory, and including some of Erdos’ favorite results. We will also discuss some of the history of the results and the mathematicians involved. A main text for the seminar will be “Proofs from the Book,” by Aigner and Ziegler. Students will give presentation.
複素多様体の重要な理論である，ケーラー多様体とHodge理論を学ぶ．
そのために必要となる次の事項についても説明する:
微分形式，Hermite計量, ベクトル束，接続，Chern形式．
層とコホモロジー，微分形式の計量，ラプラシアン, 調和形式の理論．
Poincare双対性，Serre双対性．
これらに続き，ケーラー多様体のHodge理論を展開する．
We study Kahler manifolds and Hodge theory, a
fundamental theory for complex manifolds.
For that we start with basics on complex manifolds such as:
Hermitian metrics, vector bundles, connections, Chern forms;
sheaf cohomology, metrics on differential forms, Laplacians, harmonic forms,
and the duality theorems.
Then we proceed to develop the Hodge theory for Kahler manifolds.