後期 月曜日 ３講時. 単位数/Credit(s): 2. 担当教員/Instructor : 髙橋 良輔. 学期/Semester: 後期. 開講年度/Year: 2024. 科目ナンバリング/Course code/number: SMA-MAT313J. 使用言語/Language Used in Course: 日本語.
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幾何学講座
微分形式の幾何学
Geometry of Differential forms
「幾何学概論A1」に引き続き多様体論を学ぶ．特に微分形式を用いた幾何学を中心に講義する．
This lecture is a sequel to Geometry A1 and students continue to study of the theory of manifolds. In particular, geometry using differential forms will mainly be discussed.
・微分形式の計算に習熟する．
・Frobeniusの定理を理解して使用できる．
・Stokesの定理を理解して使用できる．
・de Rhamコホモロジーの定義やde Rhamの定理を理解する．
・Riemann多様体上のHodgeの定理を理解する．
・To become familiar with computing differential forms.
・To understand and use Frobenius' theorem.
・To understand and use Stokes' theorem.
・To understand the definition of de Rham cohomology and de Rham's theorem.
．To understand Hodge's theorem on Riemannian manifolds.
以下の順番で講義する予定（変更の可能性がある）：
1. 多様体の復習
2. ベクトル場と1パラメーター変換群の復習
3. 1の分割
4. 外積代数と微分形式
5. 微分形式と種々の演算
6. Frobeniusの定理 その1
7. Frobeniusの定理 その2
8. 多様体の（コ）ホモロジー
9. 微分形式の積分，Stokesの定理
10. de Rhamの定理 その1
11. de Rhamの定理 その2
12. Riemann多様体上の微分形式
13. Hodgeの定理 その1
14. Hodgeの定理 その2
15. 期末テスト
The following is a plan and subject to change:
1. Review on manifolds
2. Review on vector fields and 1-parameter subgroups
3. Partition of unity
4. Exterior algebra and differential forms
5. Differential forms and various calculations of them
6. Frobenius' theorem 1
7. Frobenius' theorem 2
8. (Co)homology of manifolds
9. Integration of differential forms, Stokes' theorem
10. De Rham's theorem 1
11. De Rham's theorem 2
12. Differential forms on Riemannian manifolds
13. Hodge's theorem 1
14. Hodge's theorem 2
15. Final exam
レポート課題と期末テストで評価する．
Evaluate with reports and a final exam.
主に
森田茂之 著「微分形式の幾何学」岩波書店 (2005年)
に沿って進める．他に参考書として
志賀浩二 著「多様体論」岩波書店 (1990年)
も挙げておく．
Mainly, the lecture will proceed along the lines of
S. Morita “Geometry of differential forms”, Iwanami Shoten (2005), in Japanese.
As a reference, the lecturer also recommend
K. Shiga “Theory of Manifolds”, Iwanami Shoten (1990), in Japanese.
予習は上記の教科書・参考書を参照することにより行うことができる．また，講義内容を見返したり，授業中に挙げた問題を自分で考察したりすることが望ましい．
Students can prepare for lectures by using references with scheduled mentioned above. Also, it is desirable for students to review the contents of the lectures and to consider the problems raised in the class.