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複素多様体の重要な理論である，ケーラー多様体とHodge理論を学ぶ．
そのために必要となる次の事項についても説明する:
微分形式，Hermite計量, ベクトル束，接続，Chern形式．
層とコホモロジー，微分形式の計量，ラプラシアン, 調和形式の理論．
Poincare双対性，Serre双対性．
これらに続き，ケーラー多様体のHodge理論を展開する．
We study Kahler manifolds and Hodge theory, a
fundamental theory for complex manifolds.
For that we start with basics on complex manifolds such as:
Hermitian metrics, vector bundles, connections, Chern forms;
sheaf cohomology, metrics on differential forms, Laplacians, harmonic forms,
and the duality theorems.
Then we proceed to develop the Hodge theory for Kahler manifolds.
複素多様体の重要な理論である，ケーラー多様体とHodge理論を学ぶ．
そのために必要となる次の事項についても説明する:
微分形式，Hermite計量, ベクトル束，接続，Chern形式．
層とコホモロジー，微分形式の計量，ラプラシアン, 調和形式の理論．
Poincare双対性，Serre双対性．
これらに続き，ケーラー多様体のHodge理論を展開する．
We study Kahler manifolds and Hodge theory, a
fundamental theory for complex manifolds.
For that we start with basics on complex manifolds such as:
Hermitian metrics, vector bundles, connections, Chern forms;
sheaf cohomology, metrics on differential forms, Laplacians, harmonic forms,
and the duality theorems.
Then we proceed to develop the Hodge theory for Kahler manifolds.
複素多様体の重要な理論である，ケーラー多様体とHodge理論を学ぶ．
そのために必要となる次の事項についても説明する:
微分形式，Hermite計量, ベクトル束，接続，Chern形式．
層とコホモロジー，微分形式の計量，ラプラシアン, 調和形式の理論．
Poincare双対性，Serre双対性．
これらに続き，ケーラー多様体のHodge理論を展開する．
We study Kahler manifolds and Hodge theory, a
fundamental theory for complex manifolds.
For that we start with basics on complex manifolds such as:
Hermitian metrics, vector bundles, connections, Chern forms;
sheaf cohomology, metrics on differential forms, Laplacians, harmonic forms,
and the duality theorems.
Then we proceed to develop the Hodge theory for Kahler manifolds.
曲線や曲面の曲率などの微分幾何的性質を理解して具体的に与えられた曲線や曲面について計算できるようになること，
曲線・曲面に関する大域的性質の理解し実際に与えられた例に応用できるようになることが目的である。
Students become able to understand differential geometric properties such as curvatures of curves and surfaces and become able to compute them for given concrete curves and surfaces.
Students also become able to understand global natures and theorems of curves and surfaces and apply them to concrete examples.
専門的な微分幾何の基礎としてリーマン幾何学の初歩を学ぶ．
大学院で幾何を学びたい４年生，および大学院で幾何を学び始めた人は
必ず受講すること．
As the first step of professional differential geometry, we learn the basics of Riemannian geometry.
This course is necessary for students who wants to learn geometry in the graduate course of mathematics.
専門的な微分幾何の基礎としてリーマン幾何学の初歩を学ぶ．
大学院で幾何を学びたい４年生，および大学院で幾何を学び始めた人は
必ず受講すること．
As the first step of professional differential geometry, we learn the basics of Riemannian geometry.
This course is necessary for students who wants to learn geometry in the graduate course of mathematics.
Google Classroomのクラスコードは工学研究科Webページ
https://www.eng.tohoku.ac.jp/edu/syllabus-g.html
（大学院シラバス・時間割・履修登録）にて確認すること。
力学に関する解析的研究では、微分幾何学あるいは多様体といった現代数学が幅広く活用されている。これらの分野で発展してきた記号や演算といった表現は、工学研究科に所属する学生が普段目にしないものであり、学習の弊害となっている。本講義では、これら現代数学の入門編として、それら表現を出来るだけ平易に導入し、力学との関係を解説する。
本講義は、Google Classroomを利用する。クラスコードは「dvmdc7f」である。
The class code for Google Classroom can be found on the Web site of the School of Engineering:
https://www.eng.tohoku.ac.jp/english/academics/master.html (under "Timetable & Course Description")
In the modeling of classical mechanics, we often meet the applied mathematics, such as differential geometry or manifolds theory. These have been developed from the viewpoint of mathematical universality and do not always provide new ideas directly. But, we often need such a background to make the theoretical models. Furthermore, symbols and calculations developed in these fields are not commonly used by general engineering students or graduate students of engineering, and this is considered to be an obstacle for learning them. In this lecture, I am going to introduce those mathematical expressions as simple as possible, so that the students can employ the advanced mathematics in the general mechanical engineering field. This course can also be considered as an introduction to the tools of physical mathematics.
Google Classroom will be used for this lecture. The class code is "dvmdc7f".
専門的な微分幾何の基礎としてリーマン幾何学の初歩を学ぶ．
大学院で幾何を学びたい４年生，および大学院で幾何を学び始めた人は
必ず受講すること．
As the first step of professional differential geometry, we learn the basics of Riemannian geometry.
This course is necessary for students who wants to learn geometry in the graduate course of mathematics.
この集中講義の主題は、「ラプラシアンの第1固有値を最大化する計量はユークリッド空間へのよい等長埋め込みをもつ」という命題である。
コンパクト多様体において、体積1のリーマン計量をすべて動かしてラプラシアンの第1固有値を最大化する問題（問題A）、およびリーマン計量と体積要素の対（滑らかな測度距離構造）に対する類似の問題（問題B）を考える。問題Aについて、これまでに知られている結果を概観し、とくに、閉曲面上の最大化計量が球面内の極小曲面の誘導計量として実現できるというNadirashviliの定理について詳しく解説する。次に、問題Bについて、リーマン多様体の等長はめ込みとの関係を解説し、Nadirashviliの定理の類似を定式化して証明する。この定理は、問題Bが解けると、よい等長はめ込みが得られることを主張する。
有限グラフにおいても問題A, Bと類似の問題を定式化することができ、多様体の場合と比較検討する。
The theme of this intensive course is the proposition that ``a metric that maximizes the first eigenvalue of the Laplacian admits a good isometric embedding into a Euclidean space.''
On a compact manifold, we consider the problem of maximizing the first eigenvalue of the Laplacian over all Riemannian metrics of volume 1 (Problem A), and a analogous problem for a pair of Riemannian metric and volume element (smooth metric-measure structure) (Problem B). Regarding Problem A, I will overview the known results, and in particular I will explain in detail Nadirashvili's theorem, which states that a maximizing metric on a closed surface can be realized as the induced metric on a minimal surface in a round sphere. Regarding Problem B, I will explain the relationship with isometric immersions of Riemannian manifolds, and formulate and prove an analogy of Nadirashvili's theorem. This theorem asserts that if Problem B is solved, a good isometric immersion is obtained.
It is possible to formulate problems similar to Problems A and B for finite graphs, and I will compare them with the problems on manifolds.