後期 金曜日 ３講時. 単位数/Credit(s): 2. 担当教員/Instructor : 花村 昌樹. 学期/Semester: 後期. 開講年度/Year: 2024. 科目ナンバリング/Course code/number: SMA-ALG612B. 使用言語/Language Used in Course: ２カ国語以上.
代数学講座
ケーラー多様体とHodge理論
ケーラー多様体とHodge理論
ケーラー多様体とHodge理論ケーラー多様体とHodge理論
ケーラー多様体とHodge理論
Kahler manifolds and Hodge theory
複素多様体の重要な理論である，ケーラー多様体とHodge理論を学ぶ．
そのために必要となる次の事項についても説明する:
微分形式，Hermite計量, ベクトル束，接続，Chern形式．
層とコホモロジー，微分形式の計量，ラプラシアン, 調和形式の理論．
Poincare双対性，Serre双対性．
これらに続き，ケーラー多様体のHodge理論を展開する．
We study Kahler manifolds and Hodge theory, a
fundamental theory for complex manifolds.
For that we start with basics on complex manifolds such as:
Hermitian metrics, vector bundles, connections, Chern forms;
sheaf cohomology, metrics on differential forms, Laplacians, harmonic forms,
and the duality theorems.
Then we proceed to develop the Hodge theory for Kahler manifolds.
複素多様体の基礎理論に習熟する．
Acquire basic knowledge on complex manifolds.
1. 複素多様体の復習, 複素多様体の例，
微分形式, ベクトル束, Dolbeault複体
2. Hermite計量と(1,1)-形式, Hermite計量のK¥"ahler性, volume形式
3. Hermite計量の接続, Chern形式，射影多様体のK¥"ahler計量
4. 層とコホモロジーの一般論
5. de Rhamコホモロジー, de Rhamの定理，Dolbeaultコホモロジー
6. 微分形式のL^2-計量, Hodgeのstar作用素，外微分の形式的随伴素, Laplacian
7. ベクトル束の楕円形微分作用素の基本定理
8. 調和微分形式とde Rhamコホモロジー, Hermite束の調和形式
9. コホモロジーの積, Poincar¥'e双対性，Serre双対性
10. K"ahler多様体のコホモロジー : Lefschetz作用素, Lambda作用素, Hodge分解
11. K"ahler多様体のコホモロジーの続き: Lefschetz分解, Hodge指数定理
12. Hodge構造の一般論, Hodge構造の偏極(polarization)
Complex manifolds, differential forms, vector bundles.
Hermitian metrics, Kahler property.
Connections of Hermitian metrics, Chern theory.
Sheaves and cohomology.
De Rham cohomology, de Rham theorem.
L^2 metrics on forms, the star operator, Laplacian.
The fundamental theorem of elliptic differential operators on vector bundles.
Harmonic forms and de Rham cohomology; the case of Hermitian bundles.
Product on cohomology. Duality theorems.
Cohomology on Kahler manifolds: Hodge decomposition.
Cohomology on Kahler manifolds: Lefschetz decompositon and Hodge index theorem.
Hodge structure in general. Polarization.
レポートによる．
Based on reports.
Ph.Griffiths, J. Harris: Principles of algebraic geometry.
C. Voisin: Hodge theory and complex algebraic geometry, I, II
A. Weil: Vari'et'es k"ahl'eriennes
R. O. Wells: Differential analysis on complex manifolds
小平邦彦: 複素多様体論
複素多様体に関する予備知識を必要とする． 必要な事項は初回の授業で列記する
Require basic knowledge on complex manifolds.