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均質化法理論は、不均一なミクロ構造をもつ空間の有効物性を推定する理論である。このような試みは、MaxwellやRayleighの仕事以降、主に物理学者や機械工学者の専門家により研究され、長い間、数学の範疇を超えていたが、1970年代にフランスのLionsのグループやイタリアのピザ学派、ロシアのKozlovらにより厳密に定式化されてから、数学理論が急激に発展している。今日、均質化法理論は複合材料や形状最適化など、物理学や機械、材料工学など様々な分野へ応用されている。この講義では、均質化法理論入門とそれに関連する話題について解説する。
Homogenization theory studies the effective material properties from the microscopic structure of space. It has been studied mainly by physicists and mechanical engineers since the work of Maxwell and Rayleigh. For a long time, it remained beyond the scope of mathematics. However, mathematics theory has developed rapidly since it was rigorously formulated by the Lions’ group in France, the Pisa School, and Russia's Kozlov, etc. Today, it is used in various fields such as physics, mechanics, and materials engineering. Homogenization theory is particularly useful in identifying the physical properties of composite materials and optimizing their shapes and is applied to various fields.
均質化法理論は、不均一なミクロ構造をもつ空間の有効物性を推定する理論である。このような試みは、MaxwellやRayleighの仕事以降、主に物理学者や機械工学者の専門家により研究され、長い間、数学の範疇を超えていたが、1970年代にフランスのLionsのグループやイタリアのピザ学派、ロシアのKozlovらにより厳密に定式化されてから、数学理論が急激に発展している。今日、均質化法理論は複合材料や形状最適化など、物理学や機械、材料工学など様々な分野へ応用されている。この講義では、均質化法理論入門とそれに関連する話題について解説する。
Homogenization theory studies the effective material properties from the microscopic structure of space. It has been studied mainly by physicists and mechanical engineers since the work of Maxwell and Rayleigh. For a long time, it remained beyond the scope of mathematics. However, mathematics theory has developed rapidly since it was rigorously formulated by the Lions’ group in France, the Pisa School, and Russia's Kozlov, etc. Today, it is used in various fields such as physics, mechanics, and materials engineering. Homogenization theory is particularly useful in identifying the physical properties of composite materials and optimizing their shapes and is applied to various fields.
均質化法理論は、不均一なミクロ構造をもつ空間の有効物性を推定する理論である。このような試みは、MaxwellやRayleighの仕事以降、主に物理学者や機械工学者の専門家により研究され、長い間、数学の範疇を超えていたが、1970年代にフランスのLionsのグループやイタリアのピザ学派、ロシアのKozlovらにより厳密に定式化されてから、数学理論が急激に発展している。今日、均質化法理論は複合材料や形状最適化など、物理学や機械、材料工学など様々な分野へ応用されている。この講義では、均質化法理論入門とそれに関連する話題について解説する。
Homogenization theory studies the effective material properties from the microscopic structure of space. It has been studied mainly by physicists and mechanical engineers since the work of Maxwell and Rayleigh. For a long time, it remained beyond the scope of mathematics. However, mathematics theory has developed rapidly since it was rigorously formulated by the Lions’ group in France, the Pisa School, and Russia's Kozlov, etc. Today, it is used in various fields such as physics, mechanics, and materials engineering. Homogenization theory is particularly useful in identifying the physical properties of composite materials and optimizing their shapes and is applied to various fields.
場の量子論は自然界の記述に大きな成功を収めてきた物理学の理論的枠組みであるが，その厳密な数学的定式化は完成しておらず，従って場の量子論を直接数学として研究することには困難である．しかし，近年摂動的な場の量子論を数学的に定式化することについては一定の数学的枠組みが整備されてきており，完全とは言えないまでも，4次元やさらに高次元の量子場の理論やその双対性，さらにはその量子補正の計算や繰り込みなどの理解も数学の範疇で行うことが可能になってきた．本講義ではこれらの発展について議論する．理論体系が完全に完成しているわけではないので完全に厳密に定式化すること自体を目指すのではなく，そのための基本的なアイデアや道具立て，物理学からの動機や知見などを説明することに主眼を置くが，数学科専攻の学生にも十分配慮して講義を進める予定である．
Quantum field theory is a theoretical framework in physics that has been successful in describing Nature.
We have not yet arrived at a completely rigorous mathematical formulation of quantum field theories,
and hence it has been challenging to study quantum field theories themselves directly as a mathematical subject.
In recent years, however, we have been making progress in coming up with a framework to mathematically formulate perturbative quantum field theories.
Such a framework, while still incomplete, makes it possible to study quantum field theories in four (and higher) spacetime dimensions, and computations/understanding of quantum corrections and renormalizations therein. The goal of these lectures is to describe some of these developments.
Since the theory is not completely established, we will not necessarily aim to formulate everything rigorously; rather I will highlight
basic main ideas and setups, and physics motivations as well as insights. Most of the lectures should be understandable to graduate students in mathematics.
場の量子論は自然界の記述に大きな成功を収めてきた物理学の理論的枠組みであるが，その厳密な数学的定式化は完成しておらず，従って場の量子論を直接数学として研究することには困難である．しかし，近年摂動的な場の量子論を数学的に定式化することについては一定の数学的枠組みが整備されてきており，完全とは言えないまでも，4次元やさらに高次元の量子場の理論やその双対性，さらにはその量子補正の計算や繰り込みなどの理解も数学の範疇で行うことが可能になってきた．本講義ではこれらの発展について議論する．理論体系が完全に完成しているわけではないので完全に厳密に定式化すること自体を目指すのではなく，そのための基本的なアイデアや道具立て，物理学からの動機や知見などを説明することに主眼を置くが，数学科専攻の学生にも十分配慮して講義を進める予定である．
Quantum field theory is a theoretical framework in physics that has been successful in describing Nature.
We have not yet arrived at a completely rigorous mathematical formulation of quantum field theories,
and hence it has been challenging to study quantum field theories themselves directly as a mathematical subject.
In recent years, however, we have been making progress in coming up with a framework to mathematically formulate perturbative quantum field theories.
Such a framework, while still incomplete, makes it possible to study quantum field theories in four (and higher) spacetime dimensions, and computations/understanding of quantum corrections and renormalizations therein. The goal of these lectures is to describe some of these developments.
Since the theory is not completely established, we will not necessarily aim to formulate everything rigorously; rather I will highlight
basic main ideas and setups, and physics motivations as well as insights. Most of the lectures should be understandable to graduate students in mathematics.
数学及び数理科学を学ぶために必要な基礎的な事柄について学習する。具体的には、選択公理、数列の収束、函数の連続性、実数について学ぶ。これらの概念を理解し、これらを厳密に取り扱う技術を習得することを目的とする。
This lecture is on the fundamental matters for the study of mathematics and mathematical sciences. The main part is on axiom of choice, convergence of sequences, continuity of functions and real numbers. The purpose of this course is to understand these concepts and to acquire the skills to deal with them rigorously.
場の量子論は自然界の記述に大きな成功を収めてきた物理学の理論的枠組みであるが，その厳密な数学的定式化は完成しておらず，従って場の量子論を直接数学として研究することには困難である．しかし，近年摂動的な場の量子論を数学的に定式化することについては一定の数学的枠組みが整備されてきており，完全とは言えないまでも，4次元やさらに高次元の量子場の理論やその双対性，さらにはその量子補正の計算や繰り込みなどの理解も数学の範疇で行うことが可能になってきた．本講義ではこれらの発展について議論する．理論体系が完全に完成しているわけではないので完全に厳密に定式化すること自体を目指すのではなく，そのための基本的なアイデアや道具立て，物理学からの動機や知見などを説明することに主眼を置くが，数学科専攻の学生にも十分配慮して講義を進める予定である．
Quantum field theory is a theoretical framework in physics that has been successful in describing Nature.
We have not yet arrived at a completely rigorous mathematical formulation of quantum field theories,
and hence it has been challenging to study quantum field theories themselves directly as a mathematical subject.
In recent years, however, we have been making progress in coming up with a framework to mathematically formulate perturbative quantum field theories.
Such a framework, while still incomplete, makes it possible to study quantum field theories in four (and higher) spacetime dimensions, and computations/understanding of quantum corrections and renormalizations therein. The goal of these lectures is to describe some of these developments.
Since the theory is not completely established, we will not necessarily aim to formulate everything rigorously; rather I will highlight
basic main ideas and setups, and physics motivations as well as insights. Most of the lectures should be understandable to graduate students in mathematics.
医用工学におけるハードウェアの設計と理解、CTやMRIなどの医用イメージング、また得られた画像などのデータを処理および解析する上での数理的問題を理解し、その解決に必要となる様々な数学の道具についての知識を獲得する
To understand mathematical problems for design and understanding of hardware, medical imaging such as CT and MRI, and processing and analyzing the obtained data such as images, and to acquire knowledge of the various mathematical tools needed to solve these problems.
建築数理基礎論Ⅰの内容を発展させ，シミュレーションの原理を学習してプログラムを作成し，実用に即した課題の演習を行う。
以上により、構造計算の実務で，必須の構造計算プログラムに関する知識及び技能を身に付けさせる。
学生の希望により「課題① 最適化理論によるパラメータ推定」、「課題② 建築物の構造性能評価」のいずれかを選択する。
連絡事項や課題提出はGoogle Classroomを使用。
Google Classroomのクラスコードは工学研究科Webページ
https://www.eng.tohoku.ac.jp/edu/syllabus-g.html
（大学院シラバス・時間割・履修登録）にて確認すること。
Students will make computer programs after learning the basics of computer simulations. Students will acquire the knowledge and skills of structural design computer program of buildings.
Students will select either 1) parameter estimation based on optimization theory, or 2) structural performance evaluation of buildings.
Google Classroom will be used for communication and submission of assignments.
The class code for Google Classroom can be found on the Web site of the School of Engineering:
https://www.eng.tohoku.ac.jp/english/academics/master.html (under "Timetable & Course Description")
Google Classroomのクラスコードは工学部Webページにて確認すること。
学部シラバス・時間割(https://www.eng.tohoku.ac.jp/edu/syllabus-ug.html)
# 目的
数理論理学は, 情報科学分野全般における数学的・理論的な思考技術の基本として, 更にまた，ソフトウェア科学における形式的技法の基礎として重要である. このような観点から, 情報科学の基礎知識としての数理論理学を修得することを目的とする．
# 概要
数理論理学の基本である命題論理および述語論理について，命題の形式化，モデル，証明論，健全性と完全性などについて講義する．
# 達成目標等
・自然言語で与えられた命題を論理式を用いて形式化する能力の習得
・推論の形式化についての理解
・数学的論証の過程を理解し，明示する能力の習得
・基礎的な数学的構造において，与えられたモデル上における命題の真偽を議論する能力の習得
・証明可能性と恒真性の同等性についての理解
The class code for Google Classroom can be found on the Web site of
the School of Engineering:
https://www.eng.tohoku.ac.jp/edu/syllabus-ug.html (JP Only)
# Objective
Mathematical logic is important as the basis of mathematical and theoretical thinking in the field of information science in general, and also as the basis of formal methods and techniques in software science. From this point of view, the objective of this course is to acquire mathematical logic as a basic knowledge of information science.
# Overview
Students will learn basic concepts in propositional logic and predicate logic, including formalization of propositions and
predicates, their models, proof theory, and soundness and completeness.
# Goals
- Ability to formalize propositions in natural language as logic formulae.
- Understanding of formal inference.
- Knowledge of formal proofs and the ability to make formal proofs.
- Ability to determine the validly of a proposition in a variety of theories.
- Understanding of the provability, validity and their equivalence.