後期 月曜日 ３講時. 単位数/Credit(s): 2. 担当教員/Instructor : 正宗 淳. 学期/Semester: 後期. 開講年度/Year: 2024. 科目ナンバリング/Course code/number: SMA-GEM753.
理学研究科数学専攻
均質化法理論入門
Introduction to the Homogenization theory
均質化法理論は、不均一なミクロ構造をもつ空間の有効物性を推定する理論である。このような試みは、MaxwellやRayleighの仕事以降、主に物理学者や機械工学者の専門家により研究され、長い間、数学の範疇を超えていたが、1970年代にフランスのLionsのグループやイタリアのピザ学派、ロシアのKozlovらにより厳密に定式化されてから、数学理論が急激に発展している。今日、均質化法理論は複合材料や形状最適化など、物理学や機械、材料工学など様々な分野へ応用されている。この講義では、均質化法理論入門とそれに関連する話題について解説する。
Homogenization theory studies the effective material properties from the microscopic structure of space. It has been studied mainly by physicists and mechanical engineers since the work of Maxwell and Rayleigh. For a long time, it remained beyond the scope of mathematics. However, mathematics theory has developed rapidly since it was rigorously formulated by the Lions’ group in France, the Pisa School, and Russia's Kozlov, etc. Today, it is used in various fields such as physics, mechanics, and materials engineering. Homogenization theory is particularly useful in identifying the physical properties of composite materials and optimizing their shapes and is applied to various fields.
均質化法理論の考え方と技術を身につける。
To understand the concepts and techniques related to the theory of homogenization.
まず、漸近展開法から得られる予想を、H収束を用いて厳密に証明する。次に、H収束からスペクトル構造の収束を導き、補正理論、さらに、ガンマ収束およびモスコ収束との関係について議論する。余裕があれば、ランダムな構造をもつ空間の研究を紹介する予定である。
In this lecture, we will provide an introduction to homogenization theory and study its related topics. Firstly, by using the theory of H-convergence, we rigorously prove the predictions obtained from the asymptotic expansion method. Next, we will derive the convergence of the spectral structure from the H-convergence and further discuss the corrector result and relationship with gamma convergence and Mosco convergence. If time permits, we will also introduce the results when the coefficients are random.
レポートで評価する予定。
Reports
Shape Optimization by the Homogenization Method (Applied Mathematical Sciences, 146) , Gregoire Allaire, Springer, 0387952985
Shape Optimization by the Homogenization Method (Applied Mathematical Sciences, 146) , Gregoire Allaire, Springer, 0387952985
講義内容を復習し、関連する問題に挑戦して実際に手を動かすこと。
Please go through the lecture again and attempt the exercises related to it. Make sure to review the lecture material thoroughly before attempting the exercises.