応用微分方程式論 / Theory of Differential Equations

単位数: 2. 担当教員: 田中 和之. 開講年度: 2024. 開講言語: 日本語.

授業の目的・概要及び達成方法等

Google Classroomのクラスコードは工学研究科Webページ
https://www.eng.tohoku.ac.jp/edu/syllabus-g.html
（大学院シラバス・時間割・履修登録）にて確認すること。

1. 工学，物理，情報等に現れる現象の解明に重要な役割をなす常微分方程式，偏微分方程式，グリーン関数について，基礎概念を理解する．
2. 定積分による２階線形常微分方程式の解法，偏微分方程式の固有値問題とグリーン関数，グリーン関数の基礎的な性質、スツルム・リウビュルの方程式、ラプラス方程式、ヘルムホルツ方程式について学ぶ．
3. 微分方程式を工学における種々の問題に応用できるようにする．

本講義は google classroom 上のGoogle Meets によるオンライン授業として行う．
本講義のクラスコードは工学研究科Webページ https://www.eng.tohoku.ac.jp/edu/syllabus-g.html の中の【Google Classroomコード一覧】で「電子情報システム・応物系」を選択した上で各自確認した上で受講すること．

授業の目的・概要及び達成方法等(Ｅ）

The class code for Google Classroom can be found on the Web site of the School of Engineering:
https://www.eng.tohoku.ac.jp/english/academics/master.html (under "Timetable & Course Description")

1. The differential equations play a very important role in physics and engineering. In this lecture, sutudents study some ordinary differential equations of a complex variable, some partial differential equations and the method of Green's function on the basis of the contents studied in the undergraduate course for the differential equations.
2. The main topics are as follows : integral representations of solutions for second order ordinary differential equations of a complex variable, partial differential equations, heat equations, Laplace's equation, Poisson's equation, the eigenvalue problem of partial differential equations and related Green's function method and so on.
3. Students study those topics by keeping application to engineering in mind, along with their fundamental concepts.

The lectures of the present class is provided as online from Google Meets in the google classroom of the present class.
The Google class code of Google Classroom for this year of the present lecture is available at "Electrical, Information and Physics Engineering" in "Timetable & Course Description" of the following website
https://www.eng.tohoku.ac.jp/english/academics/master.html
Students should confirm the Goole class code by temselves before taking the present class.

他の授業科目との関連及び履修上の注意

履修には微分積分学，複素関数論およびフーリエ解析の知識が必要である． 講義および板書は日本語で行われる．
講義ノート（日本語版）は本講義の Google Classroomからダウンロードが可能である．．

他の授業科目との関連及び履修上の注意(Ｅ）

Differential and integral calculus, complex analysis and Fourier analysis are necessary as background knowledge. This lecture is presented in Japanese. Writing on blackboard is also in Japanese.
Lecture notes in Japanese are available in the Google Classroom of the present class.

授業計画

第1回 ２階線形常微分方程式の級数表示解 I
第2回 ２階線形常微分方程式の級数表示解 II
第3回 Legendre の微分方程式と級数表示解
第4回 Bessel の微分方程式と級数表示解
第5回 超幾何微分方程式と合流型超幾何微分方程式の級数表示解
第6回 ２階線形微分方程式の積分表示解
第7回 Legendre の微分方程式の積分表示解
第8回 Bessel の微分方程式の積分表示解
第9回 超幾何微分方程式の積分表示解
第10回 合流型超幾何微分方程式の積分表示解
第11回 Green 関数の基本的な性質と常微分方程式の Green 関数
第12回 Laplace 方程式および Poisson 方程式の Green 関数
第13回 Helmholtz 方程式の Green 関数
第14回 Sturm-Liouville 方程式の Green 関数
第15回 まとめ

授業計画(Ｅ）

1st Linear ordinary differential equations of second order and solutions in power series I
2st Linear ordinary differential equations of second order and solutions in power series II
3nd Legendre's equation and solutions in power series
4rd Bessel's equation and solutions in power series
5th Hypergeometric and confluent hypergeometric equations
6st Integral representation of solutions of linear ordinary differential equations of second order
7th Integral representation of solutions of Legendre's equation
8th Integral representation of solutions of Bessel's equation
9th Integral representation of solutions of hypergeometric equations
10th Integral representation of solutions of confluent hypergeometric equations
11th Green's function of Ordinary Differential Equations
12th Green's function of Laplace equations and Poisson's equations
13th Green's function of Helmholtz equations
14th Green's function of Sturm-Liouville equations
15th Summary

授業時間外学習

授業時間は限られているので，自主学習が重要になる．

授業時間外学習（Ｅ）

The session time is limited and therefore self-directed learning is important.

成績評価方法及び基準

課題を出題し，提出されたレポートにより評価する．

成績評価方法及び基準(Ｅ）

Evaluation is performed comprehensively based on submitted reports.

教科書および参考書

• 応用微分方程式論, 永宮健夫, 共立出版 資料種別:参考書
• 自然科学者のための数学概論, 寺沢寛一, 岩波書店 ISBN/ISSN: 9784000054805 資料種別:参考書
• 特殊函数, 犬井鉄郎, 岩波書店 ISBN/ISSN: 4000214128 資料種別:参考書
• 物理とグリーン関数, 今村勤, 岩波書店 ISBN/ISSN: 400007900X 資料種別:参考書
• 物理数学Ｉ, 福山秀敏・小形正男, 朝倉書店 ISBN/ISSN: 4254137036 資料種別:参考書
• 物理数学II ---対称性と振動・波動・場の記述, 塚田捷, 朝倉書店 ISBN/ISSN: 4254137044 資料種別:参考書
• 超幾何・合流型超幾何微分方程式, 西本敏彦, 共立出版 ISBN/ISSN: 4320015932 資料種別:参考書
• 微分方程式と量子統計力学のグリーン関数, 小泉義晴, 東海大学出版 ISBN/ISSN: 9784486018872 資料種別:参考書
• 電子情報系の応用数学(電気・電子工学基礎シリーズ21), 田中和之，林正彦，海老澤丕道共著: 電子情報系の応用数学, 朝倉書店 (2007) ISBN/ISSN: 9784254228915 資料種別:参考書
• A Course of Modern Analysis, E. T. Whittaker and G. N. Watson, Cambridge University Press ISBN/ISSN: 0521091896 資料種別:参考書

オフィスアワー

電子メール (kazu [at mark] tohoku.ac.jp) にてアポイントをとった上で来室すること．

オフィスアワー（Ｅ）

Students should visit the office after taking an appointment by e-mail (kazu [at mark] tohoku.ac.jp).