後期集中 その他 連講. 単位数/Credit(s): 2. 担当教員/Instructor : 理学部非常勤講師. 学期/Semester: 後期集中. 開講年度/Year: 2024. 科目ナンバリング/Course code/number: SMA-APM721.
京都大学
プラントル境界層展開の数学解析
Mathematical analysis of the Prandtl boundary layer expansion
流体力学における基礎方程式である非圧縮性ナヴィエ・ストークス方程式を粘着境界条件下で考察する。流体の粘性が非常に小さい場合における固体壁近傍での解の漸近挙動を調べることは、理論的にも応用上も重要である。この授業では、その基礎となるプラントル境界層展開に対する数学理論の概要を学ぶことを目的とする。
The incompressible Navier-Stokes equations, which is a fundamental nonlinear PDE system in fluid dynamics, are considered under the noslip boundary conditions. Investigating the asymptotic behavior of the solution around the solid wall in the vanishing viscosity limit is important both theoretically and in application. The purpose of this course is to learn the mathematical theory of Prandtl's boundary layer expansion.
・形式的なプラントル境界層展開の考え方を理解し、その数学的な解析手法が身につく。
・シアー型境界層周りにおける高周波不安定性について理解し、ジュブレー型の関数空間におけるプラントル境界層展開の解析手法が身につく。
・レゾルベント問題の解析により線形化半群の評価を導出する手法が身につく。
・To understand the basis of formal Prandtl boundary layer theory and to acquire the skills of its mathematical analysis.
・To understand the high-frequency instabilities around the shear boundary layer and to acquire the analytical skills for the Prandtl boundary layer expansion in a function space of Gevrey type.
・To learn how to derive the estimates of the linearized semigroup by analyzing the resolvent problem.
１．プラントル境界層展開の基礎理論
2次元半空間における非圧縮性粘性流体に対するナヴィエ・ストークス方程式を考察し、粘性零極限における形式的なプラントル境界層展開について概説する。
２．シアー型境界層周りにおける線形化問題
（１）シアー型境界層周りにおけるナヴィエ・ストークス方程式の線形化問題を考察し、高レイノルズ数流体において現れる高周波不安定性について概説する。
（２）凸シアー型境界層周りにおけるナヴィエ・ストークス方程式の線形化問題に付随するレゾルベント問題を考察し、ジュブレー3/2型の関数空間における線形化半群の評価を確立する。
３．凸シアー型境界層周りでのプラントル境界層展開
凸シアー型境界層回りにおいて、粘性零極限におけるプラントル境界層展開をジュブレー3/2型の関数空間において確立する。
1. Basics of Prandtl Boundary Layer Expansion
The Navier-Stokes equations for viscous incompressible fluids in two-dimensional half-space are discussed under the noslip boundary condition, and the formal Prandtl boundary layer expansion in the vanishing viscosity limit is outlined.
2. Linearized system around the shear boundary layer
(1) The linearized system of the Navier-Stokes equations around the shear boundary layer is discussed, and the high-frequency instability that appears in the high Reynolds number flow is outlined.
(2) We consider the resolvent problem associated with the linearized system of the Navier-Stokes equations around the concave shear boundary layer, and establish the estimate of the linearized semigroup in the function space of the Gevrey 3/2 type.
3. Prandtl boundary layer expansion around concave shear boundary layer
The Prandtl boundary layer expansion in the vanishing viscosity limit is established around the concace shear boundary layer in the function space of the Gevrey 3/2 type.
レポート課題（100点満点）を7割、講義の参加状況（100点満点）を3割として総点で評価する。
The total score is evaluated with 70% of the report assignment (out of 100 points) and 30% of the lecture participation (out of 100 points).
授業中に必要に応じて参考文献を紹介する。
References will be introduced as needed during class.
授業内容を復習すること。
Students are required to review the content of the class.