前期 金曜日 ３講時. 単位数/Credit(s): 2. 担当教員/Instructor : 都築 暢夫. 学期/Semester: 前期. 開講年度/Year: 2024. 科目ナンバリング/Course code/number: SMA-ALG521J. 使用言語/Language Used in Course: 日本語.
代数学講座
数論入門
Introduction to number theory
整数論は数学において最も古い分野の一つであり、現在に至るまで盛んに研究されている。特に、19世紀から20世紀前半にかけて，代数体の整数論は大きく発展しその基礎が完成した。さらに、20世紀になると有限体上の幾何学と代数体の整数論の類似が注目され、重要なイアデアをもたらしました。それらを基本として現在の整数論は展開されている。本講義は、代数体や関数体（有限体上の代数曲線の関数体のこと）の整数論について、その基本的事項を学ぶことを目的としている。具体的には、素イデアル分解、イデアル類群、単数群、有理点、合同ゼータ関数などを話題にする。
Number theory is one of the oldest subjects in mathematics, and it has been studied very much until now. Especially, during the 19th century and the first half of 20th century, the foundation of number theory had been completed. Moreover, in the 20th century the analogies between number theory of algebraic number fields and geometry of algebraic curves over finite fields were attracted, and it brought a lot of important ideas. The modern number theory is studied under the development. The purpose of this course is to learn the foundation of number theory in algebraic number fields and function fields (function fields of algebraic curves over finite fields) . For examples, prime ideal factorization, ideal class groups, unit groups, rational points, zeta functions, and so on.
整数論の基本的な事項を理解し、その詳細や発展を自ら学べるようになる。
The goal is to understand the foundation of number theory and to have ability to study the detail and further by oneself.
授業で扱う内容は以下の通り。
(1) 代数体と関数体
(2) デデキント環
(3) 分岐
(4) ガロア理論
(5) 平方剰余の相互法則
(6) 完備離散付値環(C.D.V.F.)
(7) 分岐群
(8) 大域と局所
(9) イデアル類群
(10) ディリクレの単数定理
(11) スキームと層
(12) 代数曲線
(13) 合同ゼータ関数 (I)
(14) 合同ゼータ関数 (II)
(15) 数論のトピック
The contents of the course are as follows:
(1) Algebraic number fields and function fields
(2) Dedekind domain
(3) Ramification
(4) Galois theory
(5) Quadratic reciprocity law
(6) Complete discrete valuation ring (C.D.V.R.)
(7) Ramification groups
(8) Global and local
(9) Ideal class groups
(10) Dirichlet's unit theorem
(11) Schemes and sheaves
(12) Algebraic curves
(13) Congruent zeta functions (I)
(14) Congruent zeta functions (II)
(15) Topic in number theory
Bレポートによる。
By reports.
参考書
加藤和也、黒川信重、斎藤毅、栗原将人 ｢数論 I, 2」, 岩波書店, 2005.
J.-P. Serre, ``Local fields", GTM67, Springer, 1979.
その他、参考文献は講義中に紹介する。
Reference books
K.Kato, S.Kurokawa, T.Saito, M.Kurihara, "Number Theory 1, 2", American Math. Soc. 2000, 2011.
J.-P.Serre, "Local fields", GTM67, Springer, 1979.
Other books will be shown in the lectures.
参考書等の代数学・整数論関係の文献を読み、例を考察し、演習問題を解くこと。
To read some of reference books and books related to algebra and number theory carefully,
and then to study example and to solve problems.
授業は対面で行う。授業方法、内容、進度予定と成績評価方法は様々な要因で変更されることがある。その場合は、授業中に告知する。質問方法に関しては授業中に伝える。
クラスコード : vtwz22p
代数学特選AのGoogle Classroomを代数学通論、代数学特殊講義Cにおいても用いる。
This course will be given by face-to-face lectures. The contents, schedule and grading mentioned above may be changed for various reasons. If any, such a change will be announced during lectures. The contact information will be given in the lecture.
Classcode : vtwz22p
The Google Classroom of Selected Topics in Algebra A will be used for Advanced Introduction in Algebra and Special Topics in Algebra C.