前期 金曜日 ４講時. 単位数/Credit(s): 2. 担当教員/Instructor : 三柴 善範. 学期/Semester: 前期. 開講年度/Year: 2024. 科目ナンバリング/Course code/number: SMA-MAT101J. 使用言語/Language Used in Course: 日本語.
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代数学講座
基礎数学
Basics of Mathematics
数学及び数理科学を学ぶために必要な基礎的な事柄について学習する。具体的には、論理・集合・写像・同値関係・濃度・順序関係について学ぶ。基礎的な事項について理解することと、標準的な記法や論理的な表現を習得することを目的とする。
This lecture is on the fundamental matters for the study of mathematics and mathematical sciences. The main part is on the logic, set, mapping, equivalence relation, cardinality and order relation. Students will acquire the standard notation and logical representation.
数学及び数理科学を学ぶ上で必要不可欠な基礎的な事項を理解し、正しく用いることができるようになる。
Students will understand and utilize the fundamental matters which are important to study mathematics and mathematical sciences.
授業の内容・進度の予定は以下の通りである:
第1回 命題と論理(否定・論理和・論理積・論理包含・真理値表)
第2回 全称命題と存在命題
第3回 集合の演算(和集合・共通部分・差集合・補集合・空集合・部分集合・べき集合)
第4回 写像・写像の合成
第5回 単射・全射・逆写像
第6回 像と逆像
第7回 論理・集合演算・写像の総まとめと中間試験
第8回 集合族・直和・直積
第9回 同値関係(定義と具体例)
第10回 同値類・商集合
第11回 集合の濃度(濃度の大小・ベルンシュタインの定理)
第12回 可算集合・非可算集合
第13回 順序関係1(順序・全順序・順序同型)
第14回 順序関係2(最大元・最小元・極大元・極小元・上界・下界・上限・下限)
第15回 同値関係・濃度・順序関係の総まとめと期末試験
学生の理解を助ける目的で、適宜、演習の時間を設ける。また、上記の内容はあくまで予定であり、学生の理解度や習熟度をみて、柔軟に授業内容・進度を変更する。
The contents and schedule of the course are as follows:
1) Propositions and logic (negation, disjunction, conjunction, implication, truth table)
2) Universal proposition and existential proposition
3) Set operations (union, intersection, difference, complement, empty set, subset, power set)
4) Mappings and composition of mappings
5) Injection, surjection and inverse mapping
6) Image and inverse image
7) Summary (logic, set, mapping) and midterm exam
8) Family of sets, direct sum and direct product
9) Equivalence relation (definition and examples)
10) Equivalence class and quotient set
11) Cardinality (Bernstein's theorem)
12) Countable and uncountable sets
13) Order relation 1 (partially ordered set, totally ordered set, order isomorphism)
14) Order relation 2 (maximum, minimum, maximal, minimal, upper bound, lower bound, supremum, infimum)
15) Summary (equivalence relation, cardinality, ordinal relation) and final exam
The above plan can be changed flexibly by taking account into the understanding and learning level. Exercises will be provided as necessary to aid students' understanding of the course.
中間試験(30%程度)・期末試験(40%程度)・小レポート課題の総評価(30%程度)によって評価する。
Students are evaluated on their submitted assignments (about 30%), the midterm examination (about 30%) and the final examination (about 40%).
教科書は使用しない。各自ノートを取ること。教材(演習問題を含む)を毎回の授業で配布する。
No textbooks will be used. Students should take notes on their own. References (including exercises) are handed out at every class.
学生は復習を丹念に行うように。特に、授業で紹介した定義・定理の意味を自分なりに考え直すように。単なる丸暗記による学習は行わないこと。また、授業で配る教材の演習問題に積極的に取り組むこと。
Students should review carefully. In particular, students are encouraged to reconsider the meaning of definitions and theorems introduced in class in their own way. Students should not learn by mere rote memorization. In addition, students should tackle actively the exercises in the course materials handed out in class.
この講義の内容は数学及び数理科学の基礎であり、数学の他の分野の学習に必要です。この講義内容を理解できないと、今後の数学の学習に大きな困難が生じます。単に授業に出席するだけでは授業の内容を理解することはできません。しっかりと復習を行ってください。また、この講義を通して、大学における数学の勉強の仕方を身につけてください。
The content of this course is fundamental of mathematics and the mathematical sciences and is necessary for the study of other areas of mathematics. Without understanding the content of this course, students will have great difficulty in their future study of mathematics. Simply attending class is not enough to understand the course content. Students are required to review the material thoroughly. Also, through this course, students should learn how to study mathematics in university.