常微分方程式論

前期 火曜日 ３講時 川北キャンパスＡ４０６. 単位数/Credit(s): 2. 担当教員(所属)/Instructor (Position): 竹内 潔 所属：理学研究科. 対象学部/Object: 工（6～14組）③. 開講期/Term: ３セメスター. 科目群/Categories: 全学教育科目学術基礎科目-基礎数学. 履修年度: 2024. 科目ナンバリング/Course Numbering: ZDM-MAT105J. 使用言語/Language Used in Course: 日本語.

主要授業科目/Essential Subjects

各学部の履修内規または学生便覧を参照。

授業題目/Class Subject

常微分方程式論
Ordinary Differential Equations

授業の目的と概要/Object and Summary of Class

自然科学や社会科学に現れる問題は微分方程式を用いてモデル化されることが多い。この講義では常微分方程式の初等解法や解の存在と一意性など, 常微分方程式の基本理論について概説する。

Problems in natural and social sciences are often transformed into models using differential equations. This course provides students with explanations of the fundamental theory of ordinary differential equations (ODE's) such as elementary methods to find solutions, existence and uniqueness of solutions of ODE's.

学修の到達目標/Goal of Study

・基本的な微分方程式が適切な方法により解けるようになる。
・線形微分方程式の解の集合がどのような性質を持つか理解する。
・解の存在と一意性について理解する。

This course is designed to help students
・be able to solve basic ODE's by appropriate methods
・understand properties of sets of solutions to linear ODE's
・understand the existence and the uniqueness of solutions to ODE's

授業内容・方法と進度予定/Contents and Progress Schedule of the Class

1. 導入（用語の説明, 微分方程式の例）
2. 微分方程式の初等解法 (変数分離形, 同次形)
3. 1階線形微分方程式とベルヌーイの微分方程式
4. 完全微分方程式 (積分因子)
5. 線形微分方程式の一般論 (重ね合わせの原理, 解集合）
6. 初等解法のまとめと今後の予定 (または, まとめと中間試験)
7. 2階同次線形微分方程式 (特性方程式による解法）
8. 2階非同次線形微分方程式 (未定係数法)
9. 2階非同次線形微分方程式 (定数変化法）
10. 連立線形微分方程式 (同次の場合)
11. 連立線形微分方程式 (非同次の場合)
12. べき級数と収束半径
13. 変数係数線形微分方程式のべき級数による解法
14. ピカールの反復法による解の構成
15. まとめと期末試験
受講者の理解度を見て, 進度や扱う内容を調整する。

1. Introduction (terminology, examples)
2. Elementary methods to find solutions (separation of variables, homogeneous equations)
3. First-order linear ODE's and Bernoulli equations
4. Exact equations (integrating factors)
5. General theory of linear ODE's (principle of superposition, set of solutions)
6. Summary for elementary methods (or Summary and mid-term exam)
7. Second-order homogeneous linear ODE's (method of characteristic equations)
8. Second-order non-homogeneous linear ODE's (method of undetermined coefficients)
9. Second-order non-homogeneous linear ODE's (variation of constants)
10. Systems of linear ODE's (homogeneous case)
11. Systems of linear ODE's (non-homogeneous case)
12. Power series and the radius of convergence
13. The power series method for solving linear ODE's with variable coefficients
14. Picard's method of successive approximations
15. Summary and final exam
According to the understanding of the lecture of the attending students, the lecture's schedule and content may be modified.

成績評価方法/Evaluation Method

期末試験により評価する。詳しくは授業第1回目に説明する。
Course grades will be based on the final exam. The details will be explained at the beginning of the course.

教科書および参考書/Textbook and References

• 『微分方程式と変分法―微分積分で見えるいろいろな現象』 , 高桑昇一郎, 共立出版 (2003年 ) ISBN/ISSN: 4320017420 資料種別:教科書
• 『微分方程式』 , 長瀬 道弘 , 裳華房 (1993年 ) ISBN/ISSN: 9784785310806 資料種別:参考書
• 『微分方程式』 , 剱持 勝衛、水原 昂廣 , 共立出版 (1998年 ) ISBN/ISSN: 9784320015890 資料種別:参考書
• 『常微分方程式の新しい教科書』 , 堀畑 和弘、長谷川 浩司 , 朝倉書店 (2016年 ) ISBN/ISSN: 9784254111460 資料種別:参考書
• 『常微分方程式論』 , 柳田 英二、栄 伸一郎 , 朝倉書店 (2002年 ) ISBN/ISSN: 9784254775871 資料種別:参考書
• 『微分方程式とその応用 [新訂版]』 , 竹之内脩, サイエンス社 (2004年 ) ISBN/ISSN: 9784781910604 資料種別:教科書

授業時間外学修/Preparation and Review

予習：次週の予定を参考に, 教科書の該当する箇所に目を通す。 復習：各回の講義中に与えられた演習問題を解く。
Preparation: Students are required to look over the textbook for the next class.　 Review: Students are required to solve problems given in class.

授業へのパソコン持ち込み【必要/不要】/Students must bring their own computers to class[Yes / No]

不要　NO

その他/In Addition

利用する学習支援システム：　Google Classroom

オンライン授業の有無：　基本的には対面 (basically face-to-face class)

上記の授業内容と進度予定は様々な要因で変更されることがある。その場合は、授業中に告知する。普段の理解を確かなものにするため, 適当な頻度で課題を出す。

The contents and schedule mentioned above may be changed for various reasons. If any, such a change will be announced during lectures. The short tests or learning are carried out at an appropriate frequency.