応用線形代数学 / Advanced Linear Algebra

単位数: 2. 担当教員: 山川 優樹, 森口 周二. 開講年度: 2024. 科目ナンバリング: TCA-CEE207J. 開講言語: 日本語 (Japanese).

主要授業科目/Essential Subjects

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授業の目的・概要及び達成方法等

Google Classroomのクラスコードは工学部Webページにて確認すること。
学部シラバス・時間割 (https://www.eng.tohoku.ac.jp/edu/syllabus-ug.html)

1. 目的
この授業では，線形代数学の基礎事項を習得し，土木工学で必要な数理的・数値的処理に応用できるようになることを目的とする．

2. 概要
線形代数学の基礎概念である線形空間の数学構造と基底，線形写像と線形変換，行列の固有値・固有ベクトル，線形連立方程式などを学習する．また，数値積分，離散データの多項式近似，線形常微分方程式の解法，主成分分析など，土木工学のさまざまな場面で必要とされる数理的・数値的処理への応用例も学ぶ．

3. 達成目標等
この授業では，線形代数学の基礎概念を理解し，土木工学のさまざまな場面で必要とされるデータの数理的・数値的処理や解析に応用できるようになることを達成目標とする．

授業の目的・概要及び達成方法等(Ｅ）

The class code for Google Classroom can be found on the Web site of
the School of Engineering:
https://www.eng.tohoku.ac.jp/edu/syllabus-ug.html (JP Only)

1. Objectives
The purpose of this class is to learn the basics of linear algebra and be able to apply it to the mathematical and numerical processing required in civil engineering.

2. Overview
In this class, students will learn the basic concepts of linear algebra, including the mathematical structure and basis of linear spaces, linear mapping and linear transformation, eigenvalues and eigenvectors of matrices, and simultaneous linear equations. Students will also learn examples of applications to mathematical and numerical processing required in various scenes of civil engineering, such as numerical integration, polynomial approximation of discrete data, solving linear ordinary differential equations, and principal component analysis.

3. Goal of Study
The goal of this class is to understand the basic concepts of linear algebra and be able to apply them to the mathematical and numerical processing and analysis of data required in various scenes of civil engineering.

他の授業科目との関連及び履修上の注意

本授業を理解するための基礎として，「解析学A, B」，「線形代数学A, B」，「常微分方程式論」，「数学物理学演習I, II」を履修することを強く推奨する．

他の授業科目との関連及び履修上の注意(Ｅ）

As a prerequisite basis for understanding this course, we strongly recommend that students take the courses “Calculus A and B,” “Linear Algebra A and B,” “Ordinary Differential Equations,” and “Exercises in Mathematics and Physics I and II.”

授業計画

授業計画は以下の通りである．ただし授業の進行状況や学校行事等により変更することがある．その場合は授業時またはGoogle Classroom内で連絡する．

1. 第1章：線形空間，線形部分空間 ／ 第2章：一次独立・従属，次元，基底，数ベクトル空間
2. 第3章：内積の導入，ユークリッド空間 ／ 第4章：正規直交基底
3. 第5章：最良近似としての最小二乗法
4. 第6章：線形写像・線形変換と表現行列，座標変換則 ／ 第7章：線形写像の値域と核，次元定理
5. 第10章：対称行列の固有値と固有ベクトル
6. 第11章：行列の固有空間と固有値問題
7. 中間試験
8. 第8章：全射，単射，全単射
9. 第9章：射影と正射影
10. 第12章：線形連立方程式Ax=bの解 その①
11. 第12章：線形連立方程式Ax=bの解 その②
12. 第13章：一般化逆行列とAx=bの解の構造 その①
13. 第13章：一般化逆行列とAx=bの解の構造 その②
14. 期末試験
15. 予備日

授業計画(Ｅ）

The class schedule is as follows, but is subject to change depending on the lecture progress and school events. Any changes will be announced during class hours or within Google Classroom.

1. Chapter 1: Linear space, linear subspace / Chapter 2: Linear independence and dependence, dimension, basis, vector space
2. Chapter 3: Introduction of inner product, Euclidean space / Chapter 4: Orthonormal basis
3. Chapter 5: Least squares as the best approximation
4. Chapter 6: Linear mapping, linear transformation, and their representation matrices, coordinate transformation rules / Chapter 7: Range and kernel of linear mapping, dimension theorem
5. Chapter 10: Eigenvalues and eigenvectors of symmetric matrices
6. Chapter 11: Eigenspace and eigenvalue problems of matrices
7. Mid-term examination
8. Chapter 8: Surjection, injection, and bijection
9. Chapter 9: Projection and orthogonal projection
10. Chapter 12: Solutions of linear systems Ax=b Part 1
11. Chapter 12: Solutions to linear Systems Ax=b Part 2
12. Chapter 13: Generalized inverse and structure of the solutions of Ax=b Part 1
13. Chapter 13: Generalized inverse and structure of the solutions of Ax=b Part 2
14. Final examination
15. Supplementary

授業時間外学習

この講議は積み上げ方式による理解が必要なので，十分な復習と演習課題を通じて各単元を習得するように努めること．理解度を確認するため授業時間内に小テストを行うこともあるので，それに対応した十分な準備も必要である．

授業時間外学習（Ｅ）

This course requires a cumulative understanding, so please try to master each unit through sufficient review and exercises. Students should be prepared for a short quiz that may be given during class time to assess students’ understanding.

成績評価方法及び基準

演習・宿題20%，中間試験40%，期末試験40%の合計点により成績を評価する．追試験や再試験の実施については学生便覧の定めに従う．

成績評価方法及び基準(Ｅ）

Grades are determined on the basis of attendance, exercises and homework (20%), mid-term examination (40%), and final examination (40%). Further examinations and reexaminations are conducted in accordance with the school’s regulations as stated in the student handbook.

教科書および参考書

• 線形代数概説, 内田 伏一，浦川 肇, 裳華房 (2000) ISBN/ISSN: 4785315229 資料種別:参考書
• 線形代数とその応用, ギルバート ストラング 著，山口 昌哉 監訳，井上 昭 翻訳, 産業図書 (1978) ISBN/ISSN: 4782805020 資料種別:参考書
• 線型代数と固有値問題―スペクトル分解を中心に（新装版改訂増補）, 笠原 晧司, 現代数学社 (2019) ISBN/ISSN: 4768705197 資料種別:参考書 (reference book)

オフィスアワー

質問は原則として授業後に受け付けるが，随時，メールやGoogle Classroomによる質問も受け付ける．

オフィスアワー（Ｅ）

Questions can be asked at any time (especially after class), via email or Google Classroom.

実務・実践的授業/Practicalbusiness※○は、実務・実践的授業であることを示す。/Note:"○"Indicatesthe practicalbusiness

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